 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Метод вращений численного решения полной проблемы собственных значений
|
|
Численное решение полной проблемы собственных значений опирается на преобразование подобия (см. Введение, п.6), которое сохраняет неизменным спектр любой матрицы. Для поиска всех собственных значений симметричной вещественной матрицы служит классический итерационный метод вращений Якоби. Он предполагает построение последовательности матриц с помощью преобразований плоских вращений
(8)
где преобразование вращения задается с помощью матрицы вращений 
. Матрица вращений получается из единичной матрицы путем замены единиц и нулей на пересечении 
-х и 
-х строк и столбцов числами 
и 
, которые можно рассматривать как косинус и синус некоторого угла. Умножение любой матрицы на матрицу изменяет у нее две строки и два столбца по формулам поворота в плоскости, определяемой индексами 
. Матрица ортогональна, т.е. 
, а значит преобразование (8) есть преобразование подобия.
Доказывается, что последовательность (8) приводит симметричную матрицу к диагональной и, таким образом, проблема собственных чисел оказывается решенной.
Для неэрмитовых матриц используется приведение исходной матрицы не к диагональной, а к треугольной матрице с 
или 
разложение исходной матрицы на, соответственно, нижнюю и верхнюю треугольную матрицы или ортогональную и правую треугольную матрицы (такое разложение существует для любой квадратной матрицы) и последующим использованием 
и 
матриц или 
и 
матриц в последовательнгости преобразований подобия вида
Здесь первое действие в строке следует рассматривать как факторизацию (т.е. определение 
), а второе как умножение матриц.
Указанные алгоритмы численного решения полной проблемы собственных значений реализованы, как правило, в любой программной среде в библиотеке стандартных программ. Для несимметричных матриц возможно появление неустойчивости в и - алгоритмах (См. пример в Приложении 3).
3.3. Степенной метод численного решения частичной проблемы собственных значений
Одним из популярных методов численного решения частичной проблемы собственных значений является степенной метод. Он предназначен для определения уединенных максимального и минимального по величине собственных значений оператора. Может быть использован для нахождения также и второго по значению модуля уединенного собственного числа. Попутно могут быть найдены и собственные векторы, отвечающие этим собственным числам.
Пусть модули собственных чисел оператора расположены по возрастанию: 
, причем максимальное по модулю число единственное. Построим итерационный процесс вычисления степеней оператора от произвольного начального вектора. Пусть 
- оператор (матрица) простой структуры. Тогда начальный вектор можно разложить по базису из собственных векторов: 
. На 
-ом шаге степенного процесса получаем
Учтем, что 
и 
. Тогда, нормируя вектор на каждом шаге, в пределе получаем собственный вектор 
максимального по модулю собственного значения (с точностью до константы 
). Проводя параллельно процесс вычислений функционала Рэлея (4) из 2.4.1 и учитывая нормировку 
, получаем в пределе максимальное собственное значение
Чтобы найти уединенное второе по модулю собственное число или минимальное собственное число следует провести такую же итерационную процедуру для оператора (матрицы) со сдвигом, например, для определения минимального собственного числа при вещественном положительном спектре взять оператор 
, где 
- единичный оператор.
На рис. 23 представлен алгоритм и подпрограмма поиска наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора.
Рис. 23. Подпрограмма вычисления наибольшего по модулю собственного значения и соответствующего ему собственного вектора
Формальные параметры подпрограммы степенного метода 
:
- заданная квадратная матрица размерности 
;
- произвольный вектор начального приближения;
- заданная погрешность вычислений (по критерию 
).
Другие локальные параметры подпрограмы 
:
- значение последнего индекса вектора и матрицы: 
- счетчик цикла,
- вектор приближения к собственному вектору на предыдущей и последующей итерации,
- приближение с заданной погрешностью к максимальному по модулю собственному значению; значения количества итераций 
и значение 
записываются в две дополнительные компоненты вектора 
.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 1410 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
