Дифференциал функции

Дифференциалом (первого порядка) функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения аргумента.

Дифференциалом аргумента называется приращение этого аргумента:

Дифференциал функции равен произведению ее производной на дифференциал аргумента:

Основные свойства дифференциала.

1. , где С=const

2.

3.

4.

5. ,

6.

Если приращение аргумента мало по абсолютной величине, то и . Полученное выражение позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений.

Дифференциалом второго порядка функции называется дифференциал от дифференциала первого порядка: . Аналогично определяется дифференциал третьего и более высоких порядков.

Используя определение дифференциала, рассмотрим ряд примеров.

1. Найти приращение и дифференциал функции при и =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые допускаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

Имеем

= .

Найдем дифференциал функции:

.

Абсолютная погрешность

.

Относительная погрешность

.

2. Найти дифференциалы первого и второго порядков функции .

Имеем

- дифференциал первого порядка,

- дифференциал второго порядка.

3. Вычислить приближенное значение .

Рассмотрим функцию . Полагая , и применяя формулу , получаем

.

4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3,02 м.

Воспользуемся формулой . Полагая R =3, , имеем

.

Следовательно, площадь круга радиуса 3,02м имеет приближенное значение

.

5. Вычислить приближенно .

Рассмотрим функцию и положим x=8,

Тогда, воспользовавшись формулой ,

найдем

.

.

Таким образом, »2,0008.

6. На сколько увеличилось ребро куба, если объем его изменился с 27 м³ до 27,2 м³?

Если - ребро куба, то его объем . Задача сводится к отысканию приращения функции при и .

Приращение найдем, исходя из приближенного равенства

. Подставляем соответствующие значения и получаем

(м).

Найти дифференциалы следующих функций:

2.141.	(Ответ: )	2.142.	(Ответ: )
2.143	(Ответ: )	2.144.	(Ответ )

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядков.

2.145.	Ответ: ; ; .
2.146.	Ответ: ; ; .
2.147.	Ответ: ; ; .
2.148.	Ответ: ; ; .

2.149. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом. (Ответ: ; ; ).

2.150. Вычислить и для функции при и (Ответ: ; ).

2.151. Найти приращение и дифференциал функции при и Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене функции ее дифференциалом.

(Ответ: ; ; ; ).

2.152. На сколько измениться сторона квадрата, если его площадь уменьшится с 16 м² до 15,82 м²? (Ответ:0,0225 м)

2.153. Найти приближенное значение объема шара радиусом R=2,01 м. (Ответ:34,04 м³).

2.154. Найти приближенное значение . (Ответ: )

2.155. Найти приближенное значение .(Ответ:2,999)

2.156. Найти приближенное значение .(Ответ:1,035)

2.157. Найти приближенное значение . (Ответ:0,88)

2.158. Поверхностная энергия жидкости рассчитывается по формуле: . Здесь - энергия единицы площади, равная коэффициенту поверхностного натяжения, - площадь свободной поверхности жидкости. Найти изменение поверхностной энергии мыльного пузыря при увеличении его радиуса с 5 см до 5,2 см (площадь поверхности сферы ). Коэффициент поверхностного натяжения мыльной воды в условиях данной задачи принять равным 0,04 Дж/м² . (Ответ: Дж).

2.159. Резиновый шар наполняется газом. Найти приближенно абсолютное и относительное изменение поверхности шара при увеличении его радиуса от 10,0 см до 10,5 см.

(Ответ: м²; )

2.160. Период колебания математического маятника , где м/с², а см. Найти изменение периода колебаний при уменьшении длины на 1 см. (Ответ: с)

2.161. Разность потенциалов между внутренней частью клетки и внешней средой обусловлена различием концентрации ионов внутри и вне клетки. Величина этой разности потенциалов в милливольтах для одновалентных ионов при температуре 18⁰ определяется формулой , где .

Рассчитать изменение при увеличении от 20 до 22. Учесть, что . (Ответ: мВ).