Метод симметричных составляющих

Метод симметричных составляющих, предложенный Фортескью, позволяет сравнительно просто рассчитывать несимметричные режимы в трехфазных системах и электрических машинах.

В общем случае трехфазная система является несимметричной, если векторы , , трех фаз не равны по величине и не сдвинуты друг относительно друга на один и тот же угол .

Согласно методу, любая несимметричная трехфазная система может быть разложена на три симметричные системы – прямой, обратной и нулевой последовательностей. Симметричной трехфазной системой векторов называется система, состоящая из трех равных по модулю векторов, причем каждый вслед идущий вектор сдвинут относительно предыдущего на угол , где – любое целое число. Система векторов , , (рис. 2.3 а), для которых угол сдвига между вслед идущими векторами , имеет прямой порядок следования фаз в направлении вращения векторов и называется системой прямой последовательности. Система , , (рис. 2.3 б), в которой угол сдвига между вслед идущими векторами , имеет обратный порядок следования фаз и называется системой обратной последовательности. Система векторов , , (рис. 2.3 в), совпадающих по фазе ( или ), является системой нулевой последовательности. Систему прямой последовательности составляют все вектора, сдвинутые по фазе на угол при . Аналогично если и соответственно , то система векторов является также системой обратной последовательности. Для системы нулевой последовательности . Таким образом, все многообразие симметричных трехфазных систем для целых сводится к трем системам, изображенным на рис. 2.3.

Введем оператор трехфазной системы:

, где .

Поскольку умножение какого-либо вектора на оператор поворачивает вектор на угол против часовой стрелки без изменения модуля, систему векторов прямой последовательности можно представить равенствами:

, , (2.5)

Система обратной последовательности состоит из трех векторов , , , равных по модулю и повернутых относительно друг друга на 120°, причем вектор опережает вектор на 120°:

; ; (2.6)

Система нулевой последовательности образована тремя векторами, совпадающими по фазе:

(2.7)

Векторы , , несимметричной трехфазной системы могут быть представлены через векторы симметричных систем.

(2.8)

Из (2.8) следует, что

(2.9)

Напряжения несимметричной системы , , обычно известны. Поэтому из системы уравнений (2.9) можно определить значения напряжений систем прямой, обратной и нулевой последовательностей, выраженные через векторы основной несимметричной системы:

(2.10)

Аналогично, для линейных напряжений (например, линейного напряжения ):

(2.11)

Необходимо отметить, что нулевая составляющая линейных напряжений .

Несимметричные системы линейных напряжений и линейных токов при отсутствии нулевого провода содержат только составляющие прямой и обратной последовательностей. Если сумма векторов несимметричной системы равна нулю, то равны нулю векторы нулевой последовательности.

Напряжения прямой, обратной и нулевой последовательностей могут быть определены не только аналитическим путем, но и непосредственно выделены и измерены с помощью специальных фильтров. Фильтры имеют входные и выходные зажимы. К входным зажимам фильтра подводится напряжение трехфазной электрической цепи, на выходных зажимах фильтра получают напряжение или ток, пропорциональные соответствующим симметричным составляющим электрических величин. Фильтр напряжений нулевой последовательности может быть получен с помощью трех равных сопротивлений (рис. 2.4), в частности трех емкостей. При симметричном режиме работы трехфазной цепи напряжение между нулевой точкой «» генератора и нулевой точкой «» «звезды», образуемой сопротивлениями , равно . При появлении в трехфазной цепи напряжений нулевой последовательности между точками «» и «» возникает напряжение , равное составляющей нулевой последовательности (см. рис. 2.4).

Системы симметричных составляющих прямой и обратной последовательностей отличаются друг от друга порядком следования во времени амплитуд фазных величин. Поэтому всякая схема для выделения составляющих прямой последовательности может быть путем перестановки любых двух фаз превращена в схему для выделения составляющей обратной последовательности.

На рис.2.5 показан четырехэлементный фильтр напряжений обратной последовательности, применяемый в релейной защите.

Параметры элементов фильтра подбираются из условия:

(2.12)

При этом

Если и выразить через симметричные составляющие линейных напряжений (см. 2.11), то

(2.13)

Рассмотрим трехфазную цепь, представленную на рис. 2.6. Цепь содержит трехфазный генератор с несимметричной системой напряжений , , .

К шинам генератора подключены нагрузка , трехфазная симметричная нагрузка и фильтр напряжений обратной последовательности (ФНОП), используемый в релейной защите от обратной мощности.

Для обеспечения питания трехфазной симметричной нагрузки напряжением системы прямой последовательности в каждом из трех линейных проводов установлен частотный резонансный фильтр, состоящий из индуктивности и емкостей , .

Активная нагрузка включена между нулевой точкой синхронного генератора и выходом фильтра напряжения нулевой последовательности (ФННП), состоящего из трех емкостей , соединенных по схеме «звезда».Фильтр напряжений обратной последовательности содержит два активных сопротивления , и две емкости , .

Требуется рассчитать трехфазную цепь и, в частности, определить: фазные напряжения системы прямой, обратной и нулевой последовательностей генератора; емкостное сопротивление системы прямой последовательности, при котором сопротивление резонансного фильтра равно нулю; емкостное сопротивление системы обратной последовательности, при котором сопротивление резонансного фильтра равно бесконечности. Необходимо также найти: действующие значения токов , , ; потребляемую трехфазной нагрузкой мощность и коэффициент мощности ; потребляемую трехфазной нагрузкой мощность и угол фазового сдвига методом двух ваттметров.

Для расчета цепи необходимо задать модули векторов фазных напряжений генератора , , и их начальные фазы , , , соответственно, а также:

– активное сопротивление нагрузки ФННП;

– емкостное сопротивление системы нулевой последовательности ФННП;

– индуктивное сопротивление и емкостное системы прямой последовательности резонансного фильтра;

– индуктивное сопротивление системы обратной последовательности резонансного фильтра;

– активное сопротивление трехфазной симметричной нагрузки;

– индуктивное сопротивление системы прямой последовательности трехфазной симметричной нагрузки.

Расчет по методу симметричных составляющих состоит в следующем. На основании принципа наложения, применяемого к линейным цепям, заданный несимметричный режим работы цепи представляют как результат наложения трех симметричных режимов.

В первом симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляющие прямой последовательности фаз, а все элементы цепи имеют сопротивления, равные сопротивлению для прямой последовательности .

Во втором симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат составляющие только обратной последовательности, а все элементы цепи имеют сопротивления, равные сопротивлению для обратной последовательности .

В третьем симметричном режиме все токи, ЭДС и напряжения содержат только составляющие нулевой последовательности, а все элементы цепи имеют сопротивления, равные сопротивлению для нулевой последовательности .

Для расчета несимметричных режимов в трехфазной электрической цепи предложена программа, представленная в файле .

В исходных данных приведены численные значения модулей фазных напряжений несимметричной системы , и (в вольтах), а также их начальные фазы , и . Фазные углы выражены в радианах, для чего введен коэффициент , а сами углы представлены равенствами:

;

;

.

Активные и реактивные сопротивления цепи, перечисленные в исходных данных, имеют размерность (Ом).

Для удобства вычислений по заданным значениям , , , , и находятся компоненты действующих значений фазных напряжений генератора:

, , .

Расчетные значения выводятся на экран дисплея.

Напряжения прямой, обратной и нулевой последовательностей определяются по формуле (2.10). Вычисления выполняются в векторно-матричной форме:

,

где матрица составлена из единиц и операторов :

.

Для проверки расчетов по формуле (2.8) находятся фазные напряжения , , , а затем они сравниваются с , и .

Для получения максимальной мощности в трехфазной симметричной нагрузке рассчитываются параметры частотных фильтров. Поскольку фильтры во всех фазах одинаковы, достаточно привести расчет для одной фазы.

Фильтры, включенные в линию, не должны пропускать ток системы обратной последовательности. Это значит, что для прямой последовательности сопротивление фильтра равно нулю , а для обратной последовательности – равно бесконечности . Схема фильтра, удовлетворяющего данным требованиям, приведена на рис. 2.7.

Параметры фильтра должны быть подобраны так, чтобы в нем существовал режим резонанса напряжений системы прямой последовательности и режим резонанса токов системы обратной последовательности.

Комплексное сопротивление фильтра (рис. 2.7) равно:

(2.14)

Сопротивление выбирается из условия равенства нулю сопротивления фильтра для системы прямой последовательности . В этом случае

(2.15)

Сопротивление выбирается из условия равенства бесконечности сопротивления фильтра для системы обратной последовательности. В этом случае

(2.16)

С помощью программы по заданным значениям сопротивлений , для системы прямой последовательности и значению сопротивления для системы обратной последовательности определяется сопротивление для системы прямой последовательности из условия равенства нулю сопротивления фильтра для системы прямой последовательности; определяется сопротивление для системы обратной последовательности (из условия равенства бесконечности сопротивления фильтра для системы обратной последовательности).

В разделе программы «Расчет токов и напряжений» предусматривается определение потенциала узла (по формуле 2.17), комплекса действующего значения тока системы нулевой последовательности в нагрузке (по формуле 2.18), а также комплекса действующего значения тока системы нулевой последовательности через конденсатор фильтра нулевой последовательности.

Согласно методу узловых потенциалов, потенциал точки (см. рис. 2.6)

, (2.17)

где – узловой ток системы нулевой последовательности узла ;
– узловая проводимость нулевой последовательности узла ;

– комплексная проводимость ветвей ФННП;

– комплексная проводимость нагрузки ФННП.

Комплекс действующего значения тока системы нулевой последовательности в нагрузке

, (2.18)

где , – соответственно действующее значение и начальная фаза тока системы нулевой последовательности в нагрузке ФННП.

Комплекс действующего значения тока системы нулевой последовательности через конденсатор фильтра нулевой последовательности

, (2.19)

где , – соответственно действующее значение и начальная фаза тока через емкость ФННП.

С учетом симметрии нагрузки, действующее значение тока системы прямой последовательности определится по формуле:

(2.20)

Коэффициент мощности трехфазной симметричной нагрузки

(2.21)

В приведенном разделе программы расчеты по формулам (2.17¸2.19) и (2.20¸2.21) выполняются, соответственно, после комментариев а) и б).

Далее определяется мощность, потребляемая трехфазной симметричной нагрузкой. Для одной фазы:

(2.22)

и трех фаз:

(2.23)

Расчет мощности, потребляемой нагрузкой, выполняется по методу двух ваттметров. Согласно рис. 2.6, показания первого и второго ваттметров определяются по формулам:

, (2.24)
, (2.25)

где и – сопряженные комплексы токов в фазах A и C нагрузки. Сумма и должна совпадать со значением потребляемой мощности, вычисленной по формуле (2.23).

По показаниям двух ваттметров при симметричной нагрузке определяется угол фазового сдвига

(2.26)

Расчет выходного напряжения фильтра напряжения обратной последовательности предусмотрен соотношениями, содержащимися в тексте программы, следующем после аналогичных комментариев. Здесь по заданным значениям и (см. исходные данные в тексте программы) определяются активные сопротивления фильтра обратной последовательности

, (2.27)

выходное напряжение ФНОП (см. рис 2.5)

, (2.28)

где , . При этом , .

Затем рассчитываются линейное напряжение системы обратной последовательности и, согласно формуле (2.13), подтверждается, что действующее значение выходного напряжения фильтра в 1,5 раза больше линейного напряжения системы обратной последовательности.

Файл

% Файл "sah110".

% Расчет периодических несинусоидальных токов в трехфазных электрических цепях.

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Исходные данные:

b=(pi/180);

Ua=380;Ub=381;Uc=375;

Kua=0*b;Kub=-119*b;Kuc=125*b;

XL1=24;XL2=27;XC0=6.9;

XC1=40.0;R0=10;X1=8.0;

X2=12.9;Rn=0.5;Xn=1.2;

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Запись фазных напряжений несимметричной системы:

j=sqrt(-1);

Va=Ua*exp(j*Kua);

Vb=Ub*exp(j*Kub);

Vc=Uc*exp(j*Kuc);

Va_Vb_Vc=[Va;Vb;Vc]

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Напряжения прямой, обратной и нулевой последовательностей, выраженные через

% вектора несимметричной системы:

a=exp(j*120*b)

A=[1 a a^2;1 a^2 a;1 1 1];

UU=(1/3)*A*[Va Vb Vc]'

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Напряжения фаз А,В и С:

% а) Прямая последовательность

U1a_U1b_U1c=diag([1 a^2 a])*ones(3,1).*UU(1)

UP=U1a_U1b_U1c;

% б) Обратная последовательность

U2a_U2b_U2c=diag([1 a a^2])*ones(3,1).*UU(2)

UO=U2a_U2b_U2c;

% в) Нулевая последовательность (для всех фаз)

UN=UU(3)

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Проверка выполненных расчетов путем определения несимметричных

% составляющих через системы прямой, обратной и нулевой последовательностей:

Ua1=UP(1)+UO(1)+UN;

Ub1=UP(2)+UO(2)+UN;

Uc1=UP(3)+UO(3)+UN;

Ua1_Ub1_Uc1=[Ua1 Ub1 Uc1]'

Va_Vb_Vc=[Va Vb Vc]'

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Определение параметров резонансного фильтра:

% (резонанс напряжений системы прямой последовательности и резонанс токов

% системы обратной последовательности):

XC21=(XC1*XL1)/(XC1-XL1);

XC11=XL2;

XC21_XC11=[XC21 XC11]'

pause,

%--------------------------------------------------------------------------------------------------------------

% Расчет токов и напряжений.

% а).Система нулевой последовательности:

fi0=UU(3)/(1+(-j*XC0/(3*R0)));

I0=fi0/R0;

Ic0=I0/3;

I0_Ic0=[I0 Ic0]'

pause,

% б).Прямая последовательность

W=sqrt(Rn^2+Xn^2);

In1=abs(UP(1))/W

cosfi=Rn/W

pause,

% Расчет мощности, потребляемой трехфазной симметричной нагрузкой:

Pf1=In1*abs(UP(1))*cosfi;

P3f1=3*Pf1

pause,

% Расчет показаний ваттметров:

% (метод двух ваттметров)

zz=Rn+j*Xn;

Ia1=UU(1)/zz;

Ic1=UP(3)/zz;

Uab1=UP(1)-UP(2);

Ucb1=UP(3)-UP(2);

Ia1_Ic1=[Ia1 Ic1]'

Uab1_Ucb1=[Uab1 Ucb1]'

pause,

% Показания первого ваттметра:

P1=real(Uab1*Ia1');

% Показания второго ваттметра:

P2=real(Ucb1*Ic1');

% Сумма показаний двух ваттметров:

P1_P2=[P1 P2]'

Pn1=P1+P2

pause,

% Проверка:

Pn1;

P3f1

pause,

% По показаниям двух ваттметров определяем угол фазового сдвига:

tagfi=(P2-P1)*sqrt(3)/(P1+P2)

pause,

% Расчет выходного напряжения фильтра напряжения обратной последовательности:

R1=X1*sqrt(3);

R2=X2/sqrt(3);

Uab2=UO(1)-UO(2);

Ubc2=UO(2)-UO(3);

zz1=R1-j*X1;zz2=R2-j*X2;

Iab2=Uab2/zz1;

Ibc2=Ubc2/zz2;

Iab2_Ibc2=[Iab2 Ibc2]'

Uab2_Ubc2=[Uab2 Ubc2]'

pause,

% Выходное напряжение фильтра обратной последовательности:

u=Iab2*R1+Ibc2*(-j*X2)

% Линейное напряжение системы обратной последовательности:

Ulin2=UO(1)-UO(3)

uu=1.5*Ulin2

pause,

clc

% Действующие значения напряжений (расчетное и по результатам проверки):

Upac=abs(u)

Ucon=abs(uu)

В результате вычислений, выполненных по программе (файл ), имеем:

п sah110

Va_Vb_Vc =

1.0e+002 *

3.8000

- 1.8471 – 3.3323i

- 2.1509 + 3.0718i

a =

-0.5000 + 0.8660i

UU =

1.0e+002 *

0.0843 + 0.0443i

3.7817 - 0.1311i

- 0.0660 + 0.0868i

U1a_U1b_U1c =

8.4295 + 4.4282i

- 0.3798 - 9.5143i

- 8.0497 + 5.0861i

U2a_U2b_U2c =

1.0e+002 *

3.7817 - 0.1311i

- 1.7773 + 3.3406i

- 2.0044 - 3.2095i

UN =

- 6.6012 + 8.6827i

Ua1_Ub1_Uc1 =

1.0e+002 *

3.8000 + 0.0000i

- 1.8471 - 3.3323i

- 2.1509 + 3.0718i

Va_Vb_Vc =

1.0e+002 *

3.8000

- 1.8471 + 3.3323i

- 2.1509 - 3.0718i

XC21_XC11 =

I0_Ic0 =

- 0.8166 - 0.6804i

- 0.2722 - 0.2268i

In1 =

7.3245

cosfi =

0.3846

P3f1 =

80.4732

Ia1_Ic1 =

5.6383 + 4.6754i

1.2298 - 7.2205i

Uab1_Ucb1 =

8.8094 -13.9425i

- 7.6699 -14.6004i

P1_P2 =

- 15.5169

95.9901

Pn1 =

80.4732

P3f1 =

80.4732

tagfi =

2.4000

Iab2_Ibc2 =

40.9383 + 1.4193i

- 37.3199 -23.3070i

Uab2_Ubc2 =

1.0e+002 *

5.5590 + 3.4717i

0.2271 - 6.5501i

u =

8.6792e+002+ 4.6176e+002i

Ulin2 =

5.7861e+002+ 3.0784e+002i

uu =

8.6792e+002+ 4.6176e+002i

Upac =

983.1091

Ucon =

983.1091

п

2.4. Модель многоузлового разветвления русла в стационарном режиме. Аналогии с электрической цепью*

Выполнение дноуглубительных работ и планирование мероприятий по улучшению судоходных условий на реках определяют необходимость оценки расходов воды в многоузловых разветвлениях и отметок уровня воды в узлах расчетным путем [33].

Оценки могут быть многовариантными, относящимися к различным полным расходам воды в реке и варьируемым модулям сопротивления рукавов [30].

Использование математической модели многоузлового разветвления русла для выполнения расчетов рабочих параметров может существенно ускорить процесс поиска эффективных решений по поддержанию габаритных глубин на отдельных участках водного пути.

При этом возможно совершенствование методов планирования дноуглубительных работ на реках, поскольку эффект влияния той или иной работы на изменение глубины судового хода может быть оценен по модели, без существенных материальных затрат [32].

Для расчета распределения расхода воды по рукавам разветвления реки допустимо использование статических моделей, рассмотренных подробно в «Руководстве по улучшению судоходных условий на свободных реках» (ЛИВТ, СПб., 1992, с. 54¸141) и рекомендованных для практического использования в линейных организациях водных путей [38].

Модели многоузловых разветвлений является нелинейным [14], [15]. Они характеризуются высокой чувствительностью к вариации параметров. Поэтому решение задачи и получение количественных оценок рабочих параметров должно базироваться на использовании эффективных вычислительных процедур, обеспечивающих высокую скорость сходимости итерационных процессов.

Чтобы расчет многоузловых разветвлений стал «рабочим инструментом» при планировании и выполнении путевых работ, предлагается вычислительный алгоритм, обеспечивающий жесткое (робастное) решение этой задачи.

Предположим, что нам необходимо рассчитать многорукавное многоузловое разветвление, имеющее узлов и рукавов. Для каждого рукава предварительно рассчитаем модули сопротивлений, которые зададим в форме таблицы. Предположим также, что задан полный расход воды в реке. В общем случае может быть задана отметка уровня воды в нижнем (замыкающем) узле. В случае «ответвлений» расходов – учтем их значения и определим расход на выходе из многоузлового разветвления.

Расход в -ом рукаве связан с отметками свободной поверхности на его концах и с помощью нелинейного уравнения, имеющего вид:

, (2.29)

где ; – модуль сопротивления -го рукава, – постоянное число (показатель степени). В свою очередь, модуль сопротивления является нелинейной функцией длины отдельных участков -го рукава, площадей их живого сечения, глубин, коэффициента шероховатости и др.

Уравнения вида (2.29), по существу, являются уравнениями движения, где – падение свободной поверхности в -ом рукаве.

Рассмотрим теперь -ый узел, к которому по рукавам подводится вода, а по – отводится. Сумма расходов в узле равна нулю, т.е.

(2.30)

Это есть уравнение неразрывности, свидетельствующее о том, что каков объем воды в единицу времени подтекает к узлу, тот же и оттекает от узла, т.е. узел не является буфером (накопителем).

Обычно показатель степени в уравнении (2.29) принимается равным 2. Мы можем допустить иные значения (положительные, большие единицы), что позволяет считать эту функцию строго вогнутой.

Итак, задача формулируется следующим образом: при заданном значении полного расхода воды в реке, известных и , определить и для всех путем совместного решения уравнений (2.29) и (2.30).

Аналогии с электрической цепью

Составим расчетную схему многорукавного многоузлового разветвления любой топологии (конфигурации). Заметим, что на схеме образуются замкнутые контуры, состоящие из соединений отдельных рукавов, и выделены узлы. Если мы вычислим сумму падений свободных поверхностей по любому замкнутому контуру, то она будет равна нулю (узел, из которого мы «выходим» и в который вновь «возвращаемся», следуя по замкнутому контуру, один и тот же). Таким образом, каждый рукав, обладающий соответствующим модулем сопротивления, является аналогом ветви в электрической цепи, активное сопротивление которой численно равно этому модулю. Расход есть аналог тока в -ой ветви, а величина аналогична падению напряжения на -ой ветви. Что касается «отметок» уровней в узлах разветвления, то эти понятия эквивалентны потенциалам узлов.

Если расчетная схема разветвления реки содержит узлов и независимых контуров, то число уравнений, подлежащих решению, равно .

Уравнение (2.30) аналогично первому закону Кирхгофа для электрической цепи, согласно которому алгебраическая сумма токов, подтекающих к любому узлу схемы, равна нулю.

На основе уравнений (2.29) для каждого замкнутого независимого контура (т.е. контура, в состав которого входит хотя бы один рукав, не входивший ранее ни в один из других контуров) можно составить уравнение вида:

, (2.31)

где – число рукавов, входящих в контур. Уравнение (2.31) аналогично второму закону Кирхгофа в электрической цепи, согласно которому алгебраическая сумма напряжений вдоль любого замкнутого контура равна нулю, т.е.

, (2.32)

что справедливо для контура, не содержащего источников ЭДС.

Метод аналогий позволяет применить любой из известных методов расчета электрических цепей непосредственно для расчета многоузловых разветвлений рек и других сетей. В результате расширяется арсенал методов, которыми можно воспользоваться при выполнении инженерных расчетов русловых процессов, т.к. эффективность этих методов всесторонне апробирована в теории электрических цепей и систем.

Необходимо подчеркнуть, что несмотря на кажущуюся простоту уравнений (2.30¸2.32), их решение представляет собой непростую задачу.

Аналог электрической цепи состоит из нелинейных сопротивлений, и ее расчет требует особого подхода, который базируется на следующем алгоритме.

Алгоритм расчета многоузлового разветвления русла

Уравнения (2.30) и (2.32) можно записать в векторно-матричной форме. Общий вид уравнения

, (2.33)

где – вектор искомых переменных.

Зададимся нулевым приближением

(2.34)

Тогда вектор погрешностей на нулевой итерации равен:

(2.35)

Согласно вычислительной процедуре Ньютона-Рафсона-Канторовича, решение на первом шаге:

, (2.36)

где матрица

(2.37)

есть матрица, называемая Якобианом.

В общем случае формула Ньютона-Рафсона-Канторовича для вектора состояния на -ой итерации имеет вид:

(2.38)

По формуле (2.38) выполняются вычисления до момента, соответствующего сходимости решения. Сходимость гарантируется строго вогнутым характером нелинейности, определяемым показателем степени в уравнениях вида (2.31)

Обычно число итераций не превышает 3¸4 при сходимости решения до 5-го знака после запятой.

Пример расчета многорукавного многоузлового разветвления

русла реки

Рассмотрим расчетную схему многорукавного многоузлового разветвления, представленную на рис. 2.8 [38].

Разветвление состоит из семи ветвей и шести узлов, обозначенных на рисунке соответствующими числами. Приток к первому узлу равен . Он представляет собой полный расход воды в реке. Отток от первого узла (узел 1) осуществляется по рукавам 1 и 2. Модуль сопротивления первого рукава , а второго, соответственно, . Расходы в рукавах обозначены индексами и , а направления потоков воды указаны стрелками.

Во втором и пятом узлах производятся ответвления по каналам (сброс воды) с расходами и . Эти величины приняты постоянными. Без потери общности они могут быть функциями отметок соответствующих узлов, либо других переменных состояния разветвления.

Согласно расчетной схеме, основной отток воды происходит от шестого узла и равен . Нетрудно видеть, что .

Аналогично первому узлу, на схеме введены обозначения расходов и модулей сопротивлений всех ветвей, а также обозначения отметок высот всех узлов [38]. Отметка (обычно принимаемая в электрической цепи в качестве нулевого потенциала) при выполнении расчета принята равной (м).

Предполагается, что модули сопротивлений рукавов вычислены по существующим методикам и равны: , , , , , , , где – коэффициент, обеспечивающий размерность каждого , равную .

В уравнениях движения (2.29) для всех рукавов показатели степени приняты , т.е. падение свободной поверхности в каждом рукаве пропорционально квадрату расхода. В общем случае это условие может быть иным.

Как было отмечено выше, решение нелинейной задачи связано с выполнением достаточно громоздкой вычислительной процедуры. Поэтому, по возможности, на стадии постановки задачи необходимо придерживаться принципа уменьшения числа переменных [10]. Иначе говоря, размерность задачи целесообразно выбрать минимальной. В этой связи простой анализ расчетной схемы, представленной на рис. 2.8, позволяет выразить расход в третьей ветви, расположенной между узами 2 и3 (модуль сопротивления ), в терминах расхода :

,

а в седьмой ветви, расположенной между узлами 5 и 6 (модуль сопротивлений ), в терминах :

.

Задача будет решена, если мы определим расходы , , , и (см. рис. 2.8). С этой целью необходимо составить пять уравнений с пятью неизвестными.

Учитывая возможность сокращения числа переменных, мы можем исключить из рассмотрения узлы 2 и 5. Тогда при составлении уравнений неразрывности мы должны учитывать расходы только в рукавах, сходящихся к узлам 1, 3, 4 и 6. Эти узлы обозначены буквами A, B,C и D.

Согласно первому закону Кирхгофа, для цепи с четырьмя узлами возможно составить три уравнения неразрывности.

Для узла А:

, (2.39)

для узла B:

, (2.40)

для узла С:

(2.41)

Два (недостающих до пяти) уравнения получим с помощью второго закона Кирхгофа. С этой целью составим уравнения для свободных поверхностей в двух контурах. Первый контур (обозначен на схеме цифрой I) состоит из ветвей с модулями , , , , и . Во второй контур входят ветви с модулями , , и (на схеме обозначены цифрой II). При составлении уравнений контуры будем обходить по часовой стрелке.

(2.42)

Аналогично для второго контура будем иметь:

(2.43)

Согласно алгоритму, изложенному выше, решим нелинейную систему уравнений (2.39¸2.43), используя вычислительную процедуру Ньютона-Рафсона-Канторовича. С этой целью введем функции:

(2.44)

Из (2.44) образуем вектор-столбец:

, (2.45)

где знак «;» в среде MatLAB является знаком разделения столбцов. Введем вектор переменных состояния:

, (2.46)

где – знак транспонирования.

Согласно (2.38) определим Якобиан. Для (2.45) Якобиан имеет вид:

, (2.47)

где ; ;
; ; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; ;
; ; ; .

Затем, используя формулу (2.36), мы получим:

, (2.48)

где , вычисляемое с помощью (2.45) путем подстановки нулевого приближения.

Последующие вычисления выполняются по уравнению (2.38) рекуррентно. Заметим, что на каждом шаге (итерации), согласно (2.38) и (2.48) необходимо определить инверсную матрицу размерности (5´5). Для нахождения расходов во всех рукавах можно ввести вектор-столбец размерности (7´1):

.

Предположим, что полный расход Q = 819 м³/с.

Зададимся произвольно нулевым решением:

.

Тогда расходы в рукавах на первом шаге (первое приближение), определяемые по формуле (2.48), будут равны:

.

На пятой итерации решение данной задачи сходится с погрешностью, не превышающей шестого знака после запятой. В результате:

.

Вектор отметок уровней в 1¸6 узлах схемы:

.

Поскольку сходимость решения при любом выбранном нулевом приближении обеспечивается за четыре итерации, в процессе вычислений на ЭВМ был выбран цикл, обеспечивающий «сборку» результатов вычислений на шестой итерации, и произведены расчеты отметок уровней узлов и расходов в рукавах при изменении расходов реки от 800 до 1800 (м ³ /с) с шагом дискретности (м ³ /с).

По результатам расчетов построены графики, приведенные на рис. 2.9 и рис. 2.10. Цифрами на рисунках отмечены номера узлов и рукавов разветвления, к которым относятся соответствующие кривые.

Программа для расчета многоузлового разветвления русла

Полный текст программы для расчета расходов и отметок уровней в узлах разветвления русла приведен в файле .

Расчет выполняется с помощью двойного цикла, заданного операторами и . Каждый внутренний цикл, реализующий процедуру Ньютона-Рафсона-Канторовича, выполняется за шесть итераций .

Вычисления во внешнем цикле предусматривают получение значений отметок уровней в узлах и расходов в рукавах при вариации полного расхода реки в пределах 800¸1800 (м ³ /с) с шагом дискретности 10 (м ³ /с).

Расчет завершается формированием матрицы уровней размерности (6´101) и расходов – (7´101).

По полученным данным построены графики уровней и расходов рукавов. Нумерация функциональных зависимостей на рисунках 2.9 и 2.10 соответствует обозначениям, введенным на расчетной схеме разветвления русла реки.

Время вычислений на компьютере с тактовой частотой процессора 66 (мГц) составляет 16 (с).

Файл

% Модель многоузловаого разветвления при известном наполнении русла.

% Файл "Sah122.m".

clc

% Вектор уровней YRW, вектор расходов RSX.

YRW=[]; RSX=[];

% Вариация полного расхода воды в реке от 800 куб. м./с до 1800 куб. м./с с шагом

% дискретности 10 куб. м./с

for Q=800:10:1800;

% Нулевое приближение. Элементы вектора QTZ (расходы воды в рукавах Q1?Q7)

% выбираются произвольно. Например,

Q1=100; Q2=100; Q3=100; Q4=100; Q5=100; Q6=100; Q7=100;

% Отметка уровня воды в нижнем замыкающем узле (в метрах):

z6=3.544;

% Постоянный коэффициент, входящий в выражение модуля сопротивления рукавов:

k=1.0E-08;

% Модули сопротивления рукавов (размерностьC^2/M^5):

b1=4.61*k; b2=431.5*k; b3=5.67*k; b4=37.12*k; b5=12.8*k; b6=160.1*k; b7=86.6*k;

%=================================================================

% Формирование векторов расходов:

QT=[Q1 Q2 Q4 Q5 Q6]';

QTZ=[Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7]';

% Метод Ньютона-Рафсона-Канторовича. Число итераций I=6:

Pacx=[];

YPOVH=[];

for I=1:6;

% Составление уравнений по 1-ому и 2-ому законам Кирхгофа:

f1=QT(1)+QT(2)-Q;

f2=QT(1)-QT(3)-QT(5)-33;

f3=QT(2)+QT(3)-QT(4);

f4=(QT(1).^2).*b1+((QT(1)-33).^2)*b3+(QT(5).^2).*b6-(QT(2).^2).*b2-(QT(4).^2).*b5-((QT(4)-21).^2).*b7;

f5=(QT(1).^2).*b1+((QT(1)-33).^2).*b3+(QT(3).^2).*b4-(QT(2).^2).*b2;

% Вектор-функция f:

f=[f1; f2; f3; f4; f5];

% Матрица Якоби:

D=[1 1 0 0 0; 1 0 -1 0 -1; 0 1 1 -1 0; QT(1).*2.*b1+(QT(1).*2-66).*b3, -QT(2).*2.*b2, 0, -QT(4).*2.*b5-(QT(4).*2-42).*b7, QT(5).*2.*b6; QT(1).*2.*b1+(QT(1).*2-66).*b3, -QT(2).*2.*b2, QT(3).*2.*b4, 0, 0];

% Вектор расходов на предшествующем шаге:

X0=[QT(1) QT(2) QT(3) QT(4) QT(5)]';

% Вектор расходов на последующем шаге:

X1=X0-(inv(D))*f;

% То же для семи рукавов:

QK=[X1(1), X1(2), X1(1)-33, X1(3), X1(4), X1(5), X1(4)-21]';

% Расчет отметок уровней в узлах:

z3=z6+(QK(6).^2).*b6;

z5=z6+(QK(7).^2).*b7;

z4=z5+(QK(5).^2).*b5;

z2=z3+(QK(3).^2).*b3;

z1=z2+(QK(1).^2).*b1;

zp1=z4+(QK(2).^2).*b2;

% Вектор уровней:

ZK=[z1 z2 z3 z4 z5 z6]';

QT=X1;

Pacx=[Pacx, QK];

YPOVH=[YPOVH, ZK];

end,