Модель твердого тела с двумя неподвижными точками

Классические модели статики твердых тел и механических конструкций при воздействии на них произвольной системы сил хорошо известны из курса теоретической механики. Их построение базируется на пяти аксиомах статики и системе правил, определяющих необходимые и достоверные условия равновесия сил в пространстве относительно выбранной системы координат.

В общем случае для равновесия системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех произвольно выбранных координатных осей равнялась нулю и чтобы сумма их моментов относительно каждой из этих осей также равнялась нулю.

Получив систему уравнений, отвечающую условиям равновесия, мы можем представить ее в векторно-матричной форме и решить в среде MatLAB.

Рассмотрим следующую задачу.

На горизонтальном валу трансмиссии (рис. 2.11) находятся два жестко соединенных с ним шкива. Радиусы большого и малого шкивов, соответственно, равны и . Известны силы натяжения ветвей ремня, охватывающего передний шкив, и . Сила вертикальна, а сила , как следует из рис. 2.11 б), образует с вертикалью угол . Натяжения ветвей ремня, охватывающего второй шкив, равны и , причем силы и параллельны и образуют с вертикалью угол .

Необходимо определить реакции подшипников и , перпендикулярные к оси вращения вала, и модули сил и , при условии, что . Реакции подшипников и силы , , , уравновешиваются (вал вращается равномерно). Расстояние между шкивами и расстояния шкивов от подшипников приведены на рис. 2.3 а). Весом вала и шкивов пренебрегаем.

Решение задачи начнем с выбора начала координат (точки ) и направления осей , , . Силы , , , перпендикулярны оси . Cоставляющие по осям и реакций подшипников в точках и обозначим, соответственно, через , и , . Таким образом, определению подлежат шесть неизвестных: , , , , , . Для их нахождения необходимо составить шесть уравнений: пять уравнений равновесия и шестое уравнение – соотношение , данное в условии задачи. Заметим, что все силы перпендикулярны к оси ; их проекции на эту ось равны нулю. Поэтому уравнение проекций на ось не составляется. Проекции сил на оси и представим в виде уравнений:

Рис. 2.11. Схема трансмиссии

(0.49)

(0.50)

Составим уравнения моментов всех сил относительно каждой из координатных осей. Моменты сил, приложенных в точках и , относительно оси равны нулю, так как линии действия этих сил пересекают ось. Рассмотрим рис. 2.3 б). Чтобы получить моменты сил , , , относительно оси , достаточно модуль каждой из этих сил умножить на радиус соответствующего шкива и взять их произведения с соответствующим знаком:

(2.51)

Моменты сил относительно оси определим по формуле:

(2.52)

Моменты сил относительно оси :

(2.53)

Исходные данные:

Введем вектор искомых переменных:

После подстановки исходных данных в формулы (2.49¸2.53), с учетом равенства , получим систему уравнений:

.

Модель трансмиссии в векторно-матричной форме имеет вид:

, (2.54)

где , .

Для решения системы (2.54) составим простую программу, приведенную ниже.

Файл

%File ‘sah21.m’. example from theoretical mechanics.

A= [1 1 0 0 1.5

0 0 1 1 –1.5*sqrt(3)

0 0 0 –1.5 1.5* sqrt(3)

0 0 0 0 –0.2

0 1.5 0 0 1.5]

pause,

B=[–100*sqrt(2); 340+100*sqrt(2); –85–25*sqrt(2); –56; –25*sqrt(2)]

pause

C=inv(A)

pause

X=C*B

Решение задачи, выполненное на компьютере в среде MatLAB, выведено на печать с экрана дисплея путем нажатия клавиши <Print Screen>.

Здесь вектор , матрица , в чем легко убедиться, если умножить на .

Рассмотренная задача может быть решена в режиме прямых вычислений. С этой целью, в порядке упражнения, выполните операции, предусмотренные приведенной программой.

п sah21

A =

1.0000 1.0000 0 0 1.5000

0 0 1.0000 1.0000 –2.5981

0 0 0 –1.5000 2.5981

0 0 0 0 –0.2000

0 1.5000 0 0 1.5000

B =

–141.4214

481.4214

–120.3553

–56.0000

–35.3553

C =

1.0000 0 0 2.5000 –0.6667

0 0 0 5.0000 0.6667

0 1.0000 0.6667 –4.3301 0

0 0 –0.6667 –8.6603 0

0 0 0 –5.0000 0

X =

–257.8511

–303.5702

643.6716

565.2111

280.0000

п