![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Выбрав р = 1, мы имеем оценку среднего абсолютного значения остатков. B отличие от метода наименьших квадратов, где для минимума критерия качества получено математическое выражение путем взятия производной и приравнивания ее нулю, минимизация средней абсолютной оценки таким способом невозможна, так как J 1 (x) не может быть дифференцирована для всех значений x. Поэтому для поиска минимума J 1(x) мoгyт быть использованы определенные формы решения задач линейного программирования, базирующиеся на интерполяционном процессе по группе точек, в которых произведены измерения.
Обобщенная линейная задача аппроксимации по критерию минимума среднего абсолютного значения остатков может быть сформулирована следующим образом. По заданным измерениям yi, i = 1,..., m, требуется оценить n -мерный вектор x, при котором выполняются условия
(1.53)
и x доставляет минимум критерию качества
(1.54)
Запишем H размерности (m x n), состоящую из т строк, отвечающих уравнениям (1.53)
где..…………………………
Известно, что если столбцовый ранг матрицы H равен k £ n, то наилучшая оценка J 1 (x) определяется на множестве из k измерений, выбранных из у 1, y 2,…, ym. Следовательно, если имеются т измерений и n известных векторов H j, j= 1,..., n, то при ранге матрицы Н, равном k,функция
являющаяся наилучшей оценкой по критерию , точно интерполирует, по крайней мере, k измерений. Напомним, что оценка по критерию
не обязательно должна удовлетворять этому условию. Гиперплоскость вообще может не проходить через какую-либо экспериментальную точку, в то время как минимум суммы наименьших квадратов будет обеспечен.
Решение линейной задачи по минимизации (1.54) может быть получено с помощью одного из известных алгоритмов, описанных в литературе. Однако, можно предложить очень эффективный вычислительный алгоритм, базирующийся по структуре на двухступенчатом решении. C этой целью запишем (1.54) в следующем виде:
(1.55)
Очевидно, мы вправе полагать, что минимуму (1.55) соответствуют значения
(1.56)
………..
Применяя это же условие к критерию (1.54), будем иметь
(1.57)
……………..
Система (1.56) содержит т уравнений с n неизвестными. Для переопределенной системы мы не можем обеспечить условие (1.56). Поэтому на первой ступени решения (1.57) ограничимся приближением, соответствующим минимуму критерия J 2, т.е. получим оценку методом наименьших квадратов (см. формулу 1.15)
Определим остатки для каждого измерения и получим систему уравнений
(1.58)
……. ……. ……. ……. ……. ……. ……. …..
.
Если ранг H равен k, причем k £ n, то для наилучшей оценки x по критерию J 1 оцениватель должен обеспечить точное прохождение гиперплоскости через k точек из всех измерений, входящих в вектор у. При этом выбранные точки должны иметь наименьшие остатки.
Ha второй ступени решения, сформировав вектор изуравнений (1.58), мы можем выполнить сортировку r в порядке возрастания его элементов. C этой целью в среде MatLAB воспользуемся оператором
и получим матрицу, содержащую строку r l и строку I, содержащую индексы, использованные при сортировке.
Для определенности положим, что k = n, т.е. матрица H имеет полный ранг. Тогда вектор r l можно представить в виде блоков :
(1.59)
где - (n Ч 1)- вектор, содержащий наименьшие остатки,
- вектор, в который вошли все оставшиеся ri, определенные системой (1.58).
Аналогично разделим матрицу H на два блока размерности (n Ч n) и
- матрицу
(1.60)
Уравнения, входящие в первый блок, можно представить как
(1.61)
где - вектор;
- квадратная матрица х - (n Ч1) - вектор. Решение (1.7-9) определим путем инверсии
:
(1.62)
Мы получим наилучшую оценку по критерию J 1. Далее нетрудно определить вектор остатков
(1.63)
Для иллюстрации "работы" алгоритма, представленного системой уравнений (1.55 1.63), возвратимся вновь к примеру построения модели наблюдателя, параметры которого оцениваются по экспериментальным данным в точках (1, 2), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 3):
Необходимо оценить коэффициенты а 1и а 2 по критерию минимума эвклидовой нормы при условии, что должно точно выполняться ограничение , где С = [1,б], d = = [5].
Согласно (1.60) матрица Н будет иметь вид
Для оценки методом наименьших квадратов воспользуемся формулой
B результате для матрицы H размерности (5Ч2) будем иметь
и, следовательно, в соответствии с (1.58), вектор остатков
Так как ранг матрицы H равен 2, процедура оценивания должна состоять в "пригонке" лишь двух точек, через которые должна проходить прямая . Эти точки должны соответствовать первому и третьему элементам вектора r. Однако по условиям ограничений эта же прямая должна проходить через точку с координатами (6, 5). Следовательно, вместо точки (1, 2), для которой справедливо
, необходимо ввести координаты (6, 5). Тогда, согласно (1.60), матрица
Оптимальная оценка по критерию J 1
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 329 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!