Рассмотрим нелинейную дискретную модель системы

, (1.68)

где y(t) – выходной сигнал, u(t) – управление, - сигнал ошибки , , - целые числа, соответствующие транспортному запаздыванию (лагу), вводимому по каждой переменной и группам переменных при выборе структуры модели. Если нелинейная функция f, отражающая специфику поведения системы в динамике, может быть аппроксимирована полиномом, то, ограничиваясь составляющей модели, линейной относительно оцениваемых параметров, для случая мы можем представить NARMAX – модель (1.68) в следующем виде

(1.69)

Тогда путем введения обозначений

, , , , ,

для N измерений, превышающих число оцениваемых параметров, мы можем получить переопределенную систему уравнений в матричной форме

, (1.70)

где матрица H, содержащая данные измерений, состоит из элементов

, H - -матрица, ,

где n – число оцениваемых параметров. Вектор выхода

,

вектор оцениваемых параметров

и вектор ошибок

.

Вектор параметров можно оценить с помощью операции псевдоинверсии Мура-Пенроуза, либо методом наименьших квадратов. В частности, согласно МНК, наилучшая оценка , реализованная путем решения матричного уравнения

(1.71)

позволяет получить минимум критерия качества

.

Известно, что для распределения ошибки обеспечивается несмещенная оценка вектора параметров модели (1.70). В случае плохо обусловленной корреляционной матрицы , для оценки используются -разложение, -преобразование, либо алгоритм Гивенса. Однако они не обеспечивают оценки каждого параметра в отдельности подобно предложенному алгоритму, базирующемуся на процедуре ортогонализации.

Заметим, что корреляционная матрица , входящая в уравнение (1.71) является симметричной и положительно определенной. Следовательно, возможна ее декомпозиция в форме равенства

, (1.72)

где матрица преобразования - верхняя треугольная, а - диагональная матрица, состоящая только из элементов, больших нуля. Если определена , то путем подстановки в (1.70) единичной матрицы , мы можем получить

, (1.73)

где и . В этом случае нетрудно найти элементы диагонали матрицы , входящей в уравнение (1.72). Действительно, если

, (1.74)

то с учетом операции транспонирования произведения матриц

,

можно (1.74) преобразовать к виду

,

а с учетом равенства (1.72), получить саму матрицу

(1.75)

Теперь остановимся на алгоритме вычисления элементов матриц и . Сначала выберем структуру :

(1.76)

Введем обозначения элементов корреляционной матрицы со свойствами симметрии:

.

Предлагается следующий вычислительный алгоритм для нахождения элементов и :

1. Если и , коэффициенты первой строки и рассчитываются с помощью соотношений

, .

2. Для и

.

3. В случае, если , рассчитывается только коэффициент по формуле

.

Приведенный вычислительный алгоритм обладает рядом свойств, позволяющих анализировать «внутреннюю» структуру процедуры оценивания параметров модели по результатам измерений. Видно, что для каждого значения коэффициент в модели (1.73) не зависит от других коэффициентов . Поэтому выбор структуры модели и, в частности, назначать размерность можно целенаправленно, с учетом весовой составляющей каждого вводимого коэффициента, вносимой в уменьшение критерия качества. Оценку вектора , с учетом уравнения (1.73), можно получить с помощью соотношения

.

Однако, поскольку. согласно (1.75), , то оценка

,

и после умножения слева на матрицу нетрудно для получить аналитические зависимости, позволяющие привести путем ортогонализации оценки параметров (1.71) при наличии коррелируемого сигнала к эквивалентной последовательности, обладающей свойствами белого шума. Среднее значение

,

и, следовательно, для в виде белого шума с нулевым математическим ожиданием при отсутствии корреляции на входе модели

,

что свидетельствует о несмещенной оценке . При этом легко вычисляется матрица ковариации оцениваемых параметров:

где использовано соотношение

.

Тогда ковариацию для вектора оцениваемых коэффициентов модели (1.70) можно представить в терминах (1.73):

.

Рассмотрим пример оценки с помощью приведенного алгоритма коэффициентов производственной функции Кобба-Дугласа по статистическим рядам. Эта функция является моделью экстенсивного способа производства, осуществляемого за счет факторов производства – затрат капитала и трудовых затрат . В производственную функцию введем время , что позволит учесть ряд качественных изменений, происходящих в технологических схемах производства. Тогда математическая модель производственной функции принимает вид

, (1.77)

где - объем выпуска продукции, и - постоянные коэффициенты, причем . В модель (1.77) временной фактор введен в виде экспоненциального мультипликатора [24]. Оценку масштабного коэффициента и постоянных коэффициентов и произведем по исходным статистическим рядам, приведенным в работе [24] для внутренней частной экономики США в период с 1947 г. по 1968 г. (см. таблицу 1.3).

Таблица 1.3

Год	Конечный продукт , млрд. долл. (1958 г.)	Основной капитал , млрд. долл. (1958 г.)	Отработанные человеко-часы , млрд.
	280,2	204,2	109,3
	293,8	212,9	110,0
	292,8	196,2	109,1
	322,9	227,4	111,3
	343,9	239,4	113,9
	352,3	244,3	113,8
	369,8	264,9	114,9
	364,9	248,1	110,8
	395,5	282,2	114,8
	402,8	295,2	116,5
	408,5	298,2	114,3
	403,2	269,5	111,1
	431,1	300,4	113,7
	441,7	303,9	114,1
	449,5	302,7	113,8
	479,5	317,0	115,5
	499,3	329,6	117,5
	522,1	351,7	119,3
	569,9	388,2	122,2
	599,6	441,2	124,0
	612,7	447,4	123,6
	643,4	472,9	125,2

Уравнение (1.77) можно представить в виде функции, линейно зависящей от оцениваемых параметров и , если вместо данных конечного продукта , основного капитала и отработанных человеко-часов использовать их логарифмы. Тогда, согласно (1.77), получим

или в векторно-матричной форме

,

,

где . Максимальное значение определяется данными таблицы 1.3 стохастических рядов (с 1947 г. по 1968 г. включительно).

В результате симметрическая матрица

.

Соответственно, коэффициенты матриц ортогональных преобразований и , согласно алгоритму, рассчитываются с помощью соотношений:

, , , , , ,

,

.

Можно убедиться в том, что произведение

,

где , и оценка вектора коэффициентов .

,

Рис.1.1. Результаты моделирования производственной функции