Альтернативи, що чітко не домінуються, та їх властивості

У цьому розділі ми розглядаємо задачі, у яких множина альтернатив, що недомінуються є нормальною нечіткою підмножиною X, тобто функція належності цієї підмножини має властивість

(5.26)

У цьому випадку для нашої альтернативи з множини максимальних недомінуємих альтернатив виконано тобто міра недомінуємості для кожної такої альтернативи дорівнює 1.

Іншими словами, для кожної і будь-якої при цьому виконується рівність тобто жодна альтернатива не домінує з позитивним ступенем подану альтернативу x.

Тому ці альтернативи ми будемо називати чітко недомінуємими, й множину таких альтернатив позначимо X ^ЧНД. Таким чином

Х ^ЧНД . (5.27)

Як випливає з визначення множини Х ^ЧНД та , для кожної чітко недомінованої альтернативи виконується рівність

Х ^ЧНД, (5.28)

де – нечітке відношення строгої переваги, що відповідає . Звідси можна зробити висновок, що для будь-яких Х ^ЧНД виконується

. (5.29)

Із визначення випливає, що рівність (5.29) еквівалентна рівності

,

але тоді

,

тобто будь-які дві альтернативи, що чітко недомінуюються пов'язані відношенням байдужості зі ступенем не меншим за 0,5. За визначенням нечіткого відношення отримуємо

Х ^ЧНД. (5.30)

При довільних нечітких відношеннях переваги може виявитися, що , при Х ^ЧНД, тобто альтернативи можуть не бути еквівалентними ні з якою позитивною мірою. Зауважимо, що в цьому випадку , тобто та не зрівняні мiж собою. Однак це не має місця, якщо лінійне відношення.