Нечіткі відношення переваги. Їх властивості

О з н а ч е н н я 5.3. Нехай Х подана множина альтернатив. Нечітким відношенням нестрогої переваги(НВП) на Х будемо називати всіляке подане на цій множині відношення що є рефлексивним.

Нечітке відношення переваги будемо описувати функцією належності вигляду , що є рефлексивною, тобто .

Якщо с– нечітке відношення переваги на множині Х, то для будь-якої пари альтернатив значення є мірою виконання переваги «х не гірше у», або . З того, що , випливає або те, що , або те, що х та у не зрівняні між собою з позитивною мірою. Рефлексивність НВП відображає той факт, що будь-яка альтернатива не гірша за саму себе.

Подане на множині Х нечітке відношення переваги однозначно задає три відповідних йому нечітких відношення:

- однаковості – ,

- квазіеквівалентності– ,

- строгої переваги– .

Ці відношення будуть використовуються для визначення та аналізу властивостей альтернатив, що не домінуються у задачах прийняття рішень.

За аналогією зi звичайними відношеннями ці відношення можна визначити таким чином:

,

,

,

де – зворотне до R відношення, що описане функцією належності

.

Використовуємо визначення операції об’єднання, перерізу та різниці нечітких множин отримуємо такі вирази для функцій належності цих відношень.

1. Нечітке відношення байдужості:

.

2. Нечітке відношення квазіеквівалентності

.

3. Нечітке відношеннястрогої переваги

.

Розглянемо такий приклад.

П р и к л а д 5.4. (Чітке відношення переваги). На множині Х подані n функцій , i = 1, …, n. Визначимо в Х відношення переваги R таким чином: .

Легко бачити, що функція належності відношення R має вигляд

Зауважимо, що при такому відношенні переваги в множині Х можуть бути альтернативи, які не можна порівняти (тобто і існують такі альтернативи х, у, для яких виконується ). Наприклад, альтернативи х, у для яких , та в інших випадках.

За допомогою поданих вище означень одержимо:

Відмітимо, що альтернативи, якi є недомінуємими при поданому відношенні переваги, називаються ефективними або оптимальними за Паретодля функцій i = 1, 2,..., n.

Розглянемо тепер деякі властивості визначених нечітких відношень та .

І. Нечіткі відношення та рефлексивні та симетричні.

Дійсно, тому, що вихідне відношення є рефлексивним. Симетричність цих відношень випливає з їх визначень.

ІІ. – антирефлексивно та антисиметрично.

Дійсно, , оскільки вихідне НВП рефлексивно, тобто , .

Нехай, , тобто , тоді , а це і є антисиметричність цього відношення.

Покажемо тепер, що якщо вихідне відношення НВП на множині Х транзитивне, то нечіткі відношення та також транзитивні.

Т е о р е м а 5.2. Якщо НВП на Х транзитивне, то й відповідне нечітке відношення також транзитивне.

Зауважимо, що з цієї теореми та з розглянутих вище властивостей відношення випливає, що в умовах теореми є нечітким відношенням еквівалентності (рефлексивне, симетричне, транзитивне).

Доведення

Припустимо, що в умовах теореми відношення не є транзитивним. За визначенням транзитивності це означає, що відшукаються такі , для яких

(5.12)

Припустимо тепер, що . Тоді з визначення одержуємо, що . Користуючись цією рівністю, запишемо нерівність (5.12) у вигляді

. (5.13)

Оскільки симетрична, то з (5.13) одержуємо, що

,

тобто ,

та , що суперечить умові транзитивності вихідного відношення: . ().

Випадок доводиться аналогічно.

Також має місце

Т е о р е м а 5.3. Якщо нечітке відношення переваги на Х транзитивне, то транзитивне й відповідне нечітке відношення строгої переваги .