Зависимость между матрицами одного и того же преобразования в различных базисах. Подобные матрицы

Рассмотрим в конечномерном линейном пространстве Rⁿ два базиса и ; первый из них назовем старым, второй – новым.

Теорема. Если и – два базиса линейного пространства Rⁿ, А – матрица линейного преобразования в старом базисе, то матрица этого преобразования в новом базисе имеет вид:

,

где С – матрица перехода от старого базиса к новому.

Определение. Матрица называется подобной матрице А, если существует невырожденная квадратная матрица С, удовлетворяющая равенству

Следствие. Если линейное преобразование имеет невырожденную матрицу в некотором базисе, то матрица этого преобразования будет невырожденной в любом другом базисе.

Пример. В базисе преобразование имеет матрицу:

Найти матрицу оператора в базисе .

Решение.

Матрица перехода от старого базиса к новому С: .

Тогда обратная матрица С ^–1: .

По формуле получаем:

.