Линейное преобразование в координатах

Рассмотрим линейное преобразование в n – мерном линейном пространстве Rⁿ, заданное в некотором базисе матрицей:

Любой вектор данного пространства единственным образом раскладывается по координатам заданного базиса, т.е.

.

Подействуем на данный вектор линейным оператором :

Так как базисные вектора так же являются векторами данного пространства, то они раскладываются по координатам заданного базиса

.

Следовательно, получим

С другой стороны, вектор можно разложить по координатам данного базиса следующим образом:

.

Таким образом, оба разложения являются разложением одного и того же вектора, т.е. выполняется система равенств:

Полученную систему векторов можно записать в матричном виде

.

Таким образом, связь между вектором и его образом может быть представлена в виде , где А – матрица линейного оператора.

Пример. Пусть в пространстве R ³ линейный оператор в базисе e ₁, e ₂, e ₃ задан матрицей . Найти образ вектора = 4 e₁ - 3e₂ + e₃.

Решение.

Из условия следует, что вектор . По формуле имеем

.

Следовательно, = 10 e ₁ - 13 e ₂ - e ₃.