Действия над линейными операторами

1. Сложение линейных операторов.

Определение. Суммой двух линейных операторов и некоторого пространства Rⁿ называется такой оператор , что для любого вектора этого пространства выполняется равенство: .

Если в некотором базисе линейные операторы и имеют соответствующие матрицы А и В, то их оператор в том же базисе имеет матрицу А+В.

Свойства операции сложения:

1) ;

2) ;

3)

2. Умножениелинейного операторана число.

Определение. Произведением линейного оператора некоторого пространства Rⁿ на число λ называется оператор , определяемый равенством

для любого вектора этого пространства.

Свойства операции умножениялинейного оператора на число:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

3. Умножениелинейных операторов. Рассмотрим оператор , переводящий вектор в вектор ., т.е. (см. рис. 8). К вектору применим оператор , переводящий вектор в вектор , т.е. . Таким образом, имеем оператор , переводящий вектор в вектор , причем вектор получен в результате последовательного применения операторов и .

Определение. Произведением линейных операторов и называется оператор , заключающийся в последовательном применении операторов и и определяемый равенством: (справа записывается первый оператор).

Произведение линейных операторов является линейным оператором:

;

.

Свойства операции умножениялинейных операторов:

1) ;

2) ;

3) ;

Имеет место следующий принцип: каждому действию над линейными операторами соответствует такое же действие над матрицами этих линейных операторов.

Пример. Даны два линейных преобразования:

Средствами матричного исчисления найти преобразование, выражающее через .

Решение.

Первое преобразование задано матрицей А, второе – матрицей В:

Искомое преобразование имеет матрицу ВА. Умножая матрицы В и А, получим:

Следовательно, искомое преобразование определяется формулами

Операторы , λ , , полученные в результате арифметических действий, удовлетворяют отмеченным выше свойствам аддитивности и однородности, т.е. являются линейными.