Нахождение обратной матрицы с помощью присоединенной матрицы

Теорема (об обратимости матриц). Квадратная матрица А порядка n обратима тогда и только тогда, когда она невырожденная, при этом обратную матрицу можно вычислить по формуле:

где - присоединенная матрица.

Доказательство. Необходимость. Квадратная порядка n обратима, тогда по определению она невырожденная.

Достаточность. Пусть матрица А невырожденная, т.е. . Рассмотрим матрицу . Составим произведение

.

Аналогично

.

Таким образом, существует матрица такая, что . Следовательно, матрица А обратима и ее обратной матрицей является . ■

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель матрицы А. Если определитель матрицы на равен нулю , то матрица невырожденнаяи обратима;

2. Найти алгебраические дополнения элементов матрицы А и составить присоединенную матрицу ;

3. Вычислить обратную матрицу по формуле: .

Пример. Найти обратную матрицу к данной