Решение. Так как у матрицы А есть ненулевые элементы, то ранг матрицы r(A)≥1

Определение. Преобразования, сохраняющие ранг матрицы, называются элементарными преобразованиями матрицы.

К элементарным преобразованиям матрицы относятся:

– отбрасывание нулевой строки (столбца);

– умножение всех элементов строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля;

– изменение порядка строк и столбцов матрицы;

– прибавление к каждому элементу некоторой строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), умноженные на любое число, отличное от нуля;

– транспонирование матрицы.

Так как ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях, то необходимо привести матрицу к так называемому ступенчатому виду. В этом случае ранг ступенчатой матрицы равен количеству ее ненулевых строк (или числу ненулевых элементов главной диагонали матрицы) ступенчатого вида.

Алгоритм метода элементарных преобразований.

1. Если элемент матрицы , перестановкой строк и столбцов добиваются того, что бы .

2. Если , то, умножая элементы первой строки на подходящие числа, и затем, складывая их с соответствующими элементами других строк, добьемся того, чтобы все элементы первого столбца, кроме , равнялись нулю. Аналогично проводят преобразования для остальных строк.

3. Если в процессе преобразований получаются строки (или столбцы), целиком состоящие из нулей, то отбрасываем эти строки (или столбцы). При этом получаем матрицу ступенчатого вида, у которой ранг равен количеству ее ненулевых строк (или числу ненулевых элементов главной диагонали матрицы ступенчатого вида).

Пример. Найти ранг матрицы: