Обратная матрица. Определение. Матрица а-1 называется обратной для квадратной матрицы а n–го порядка, если выполняются равенства

Основные понятия

Определение. Матрица А^{- 1} называется обратной для квадратной матрицы А n–го порядка, если выполняются равенства

A A ^-1 = A ^-1 A = E,

где Е – единичная матрица. При этом матрица А называется обратимой.

Замечание. У квадратной матрицы А существует не более одной обратной матрицы.

Доказательство. Действительно, пусть X и Y – две обратные матрицы для А. по определению это означает, что и . Составим произведение:

.■

Свойства обратных матриц

Если квадратные матрицы А и В одинаковых порядков и обратимы, то справедливы несколько равенств.

1. .

Доказательство. В равенстве перейдем к определителям

.■

2. .

Доказательство. Заметим, что если для некоторой матрицы С существует обратная С ^-1 такая, что , то матрица С обратима. Возьмем в качестве матрицы С ^-1 матрицу А, а в качестве матрицы С - матрицу А ^-1. Тогда получаем, что матрица А ^-1 обратима, причем обратной к ней является матрица А, т.е. .■

3. .

Доказательство. В равенстве перейдем к транспонированным матрицам

.

Это равенство означает обратимость матрицы , причем .■

4. .

Рассмотрим матрицу . Составим произведения

.

.

Следовательно, матрица обратима и обратной является .■

Определение. Матрица А называется невырожденной или неособенной, если определитель матрицы не равен нулю (), в противном случае ()– вырожденной (особенной).

Определение. Квадратная матрица называется невырожденной (неособенной), если порядок матрицы совпадает с рангом матрицы.

Теорема. Произведение квадратных матриц невырожденно тогда и только тогда, когда невырождена каждая из перемножаемых матриц.

Доказательство. В самом деле,

■

Замечание. Вырожденная матрица не имеет обратной, т.е. не является обратимой.

Доказательство. В самом деле, пусть и существует матрица А ^-1такая, что A A ^-1 = A ^-1 A= E. В последнем равенстве перейдем к определителям:

.

Получили противоречие, т.е. наше предположение неверно. ■

Определение. Присоединенной матрицей для матрицы А называется матрица , получающаяся путем транспонирования матрицы, составленной из алгебраических дополнений элементов матрицы А:

.

Теорема (о присоединенной матрице). Произведение присоединенной матрицы слева и справа на матрицу А равно определителю матрицы А, умноженному на единичную матрицу:

.

Доказательство. Ясно, что , и - квадратные матрицы одного и того же порядка n.

.

Равенство доказывается аналогично. ■