![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Каждый из этих векторов можно представить в виде линейной комбинации векторов единичного базиса: ,
.
,
,
.
Этому представлению соответствует таблица, где буквой Б обозначен базис, а буквой В – векторы системы.
В Б | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | -2 | ||
![]() |
Система векторов будет линейно зависимой, если единичные векторы удастся заменить соответствующими векторами системы.
Начнем процесс замещения. Например, заменим вектор вектором
. Вектор-столбец, соответствующий вектору, вводимому в базис, будем называть направляющим вектор - столбцом. Аналогично вектор-строку, соответствующую вектору, исключаемому из базиса, назовем направляющей вектор - строкой.
Элемент, стоящий на пересечении направляющего столбца и направляющей строки, будем называть направляющим. В нашем случае направляющим элементом будет 1. Если мы решили ввести в базис вектор , то в разложении по новому базису
,
вектор
будет иметь компоненты (1,0), так как
.
Согласно этому замечанию необходимо так преобразовать исходную таблицу, чтобы на месте направляющего элемента стояла единица, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью умножим направляющую строку на –3 и присоединим ее ко второй строке; получим новую таблицу:
В Б | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | -2 | ||
![]() | -2 |
Введем в базис вектор . Тогда в новом базисе
вектор
должен иметь компоненты (0,1), так как
.
Формально, это соответствует тому, что на месте направляющего элемента –2 нужно получить 1, а на остальных местах направляющего столбца – нули. С этой целью поделим направляющую строку на –2:
В Б | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | -2 | ||
![]() | 1 | ![]() |
Умножаем преобразованную направляющую строку на –2 и присоединяем ее к первой строке. Получаем таблицу, из которой видно, что векторы системы в новом базисе могут быть представлены так:
,
,
.
В Б | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | |||
![]() | ![]() |
Сравнивая (1) и (2), заключаем, что векторы заменены векторами
и вектор
является их линейной комбинацией. Таким образом, система векторов
– линейно зависима; ранг равен двум, и базис состоит из векторов
.
Пример. Дана система векторов ,
,
. Установить линейную зависимость или независимость системы векторов и определить ранг этой системы.
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 494 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!