Операции над векторами

1. Сложение векторов. Под суммой двух векторов и понимается вектор , компоненты которого равны суммам соответствующих компонент слагаемых векторов:

.

2. Произведение вектора на число. Произведением скаляра l на вектор называется вектор , координаты которого равны координатам вектора , умноженным на скаляр l:

.

Определение. Вектор , координаты которого являются противоположными числами для координат вектора , называется вектором противоположным вектору .

Определение. Вектор , удовлетворяющий уравнению , называется разностью векторов и , .

Вектор х, удовлетворяющий уравнению , может быть найден в виде .

Определение. Множество K ⁿ всех n-мерных векторов над полем K, рассматриваемое вместе с определенными на нем операциями сложения векторов и умножения векторов на число, называется n-мерных линейным (векторным) пространством (K ⁿ, +, ´).

Свойства арифметических операций над векторами:

1) – коммутативность сложения векторов;

2) – ассоциативность сложения векторов;

3) – обратимость сложения векторов;

4) –ассоциативность умножения относительно числового множителя)

5) –дистрибутивность умножения относительно сложения векторов;

6) –дистрибутивность умножения относительно числового множителя.

Доказательство. Докажем свойство коммутативности векторов.

Докажем свойство обратимость сложения векторов. Найдем вектор , такой, что выполняется равенство .

.

Таким образом, выполняется или выполняется и вектор определен своими координатами . ■

Остальные свойства доказываются аналогично.