Выражение скалярного произведения в произвольных и ортонормированных координатах

Пусть в пространстве задан произвольный базис .

Определение. Скалярные произведения базисных векторов будем называть метрическими параметрами данного пространства.

Рассмотрим векторы и и выразим их скалярное произведение через координаты и и метрические параметры пространства . Получаем выражение для скалярного произведения векторов и а и 6 в произвольном пространстве

Для ортонормированного базиса, когда метрические параметры пространства совпадают с символом Кронекера , имеем:

Определение. Длиной или модулем вектора |a| называется число, равное корню квадратному из скалярного квадрата .

Определение. Два вектора и называются ортоганальными, когда скалярное произведение равно нулю: .

Определение. Вектор называется нормированным, если его скалярный квадрат равен единице.

Найдем выражение скалярного произведения через координаты.

Пусть заданы векторы

и , тогда

Будем использовать таблицу скалярного произведения векторов :

Тогда

Таким образом, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат.

3.5. N -мерные векторы и действия над ними

Пусть K - фиксированное числовое поле, которое будем называть основным. Элементы поля K будем называть скалярами.

Определение. n-мерным вектором над полем K называют упорядоченную совокупность n вещественных чисел поля K и обозначают , где числа называют компонентами, или координатами, вектора.

Множество n -мерных векторов над полем K обозначается K ⁿ.

Определение. Два вектора и называются равными, если они равны все их соответствующие компоненты:

.

Определение. Вектор же, все компоненты которого равны нулю, называется нулевым или нуль - вектором и обозначается: .

Определение. Вектор, i-ая компонента которого равна единице, а остальные компоненты равны нулю, называется i–ым единичным вектором и обозначается: .