 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Базис и ранг системы векторов
|
|
Определение. Система векторов А линейно выражается через систему вектор В, если любой вектор 
является линейной комбинацией некоторой конечной подсистемы векторов В.
Ясно, что если 
, то А линейно выражается через В:
Понятие линейного выражения одной системы через другую обладает свойством транзитивности: если А выражается через В, В выражается через С, то А выражается через С.
Определение. Две системы называются эквивалентными, если они выражаются друг через друга.
Замечание. Отношение эквивалентности систем векторов обладает всеми свойствами абстрактного отношения эквивалентности:
1. 
– рефлексивность;
2. 
– симметричность;
3. 
– транзитивность.
Теорема. Пусть В – линейно независимая подсистема системы векторов А, тогда равносильны три утверждения:
1. Система векторов А линейно выражается через подсистему векторов В.
2. Система векторов 
с присоединенным вектором а, где а – любой вектор из А, является линейно зависимой.
3. В системе векторов А не существует линейно независимых подсистем с числом вектором, большим, чем в системе В.
Доказательство. По условию теоремы система А может быть конечной или бесконечной, однако подсистема В – только конечной (по теореме о максимальном числе линейно независимых векторов).
Шаг 1. Докажем, что 
. Рассмотрим систему , где - любой вектор. Так как а линейно выражается через В, то по критерию линейной зависимости система линейно зависима, т.е. 2) выполнено.
Выполнение условия 2 означает, что В является максимально независимой подсистемой системы А.
Шаг 2. Докажем, что 
. Пусть 
- любая линейно независимая подсистема системы А. Возьмем любой вектор 
. Рассмотрим систему , которая по условию 2 является линейно зависимой. Тогда по свойству 3 линейной зависимости вектор а является линейной комбинацией подсистемы В. Следовательно, все векторы линейно независимой подсистемы являются линейными комбинациями векторов подсистемы В и число векторов в не превосходит числа векторов в В.
Шаг 3. Докажем, что 
. Рассмотрим любой вектор и образуем систему , где векторов на 1 больше, чем в В. Поэтому по свойству 3 линейной зависимости вектор а является линейно комбинацией векторов из В, поэтому А линейно выражается через подсистему векторов В.
Определение. Базисом системы векторов А называется любая ее линейно независимая подсистема В, через которую линейно выражаются все векторы системы А.
Определение. Базисом системы векторов А называется любая ее максимальная линейно независимая подсистема В.
Пример. 
. В является базисом А.
Пример. Совокупность двумерных единичных векторов 
, 
составляют единичный базис двумерного пространства; ранг двумерного пространства равен двум.
Свойства базисов.
1) Система векторов А эквивалентна любому своему базису В.
Доказательство. Так как В – базис системы векторов А, то А линейно выражаются через В. С другой стороны, В линейно выражаются через А, т.к. 
. Следовательно, 
.■
2) Число векторов во всех базисах одно и то же.
Доказательство. Пусть В и – два базиса системы векторов А, причем 
, n – число векторов в В, m – число векторов в . Тогда В линейно независима и линейно выражаются через и 
. Меняя ролями В и , получаем 
. Таким образом, 
. ■
Определение. Рангом системы векторов А называется число векторов в любом ее базисе.
Определение. Рангом системы векторов А называется максимальное число ее линейно независимых векторов.
Обозначается ранг или rang A, или rank A, или r (A).
Дата публикования: 2014-11-02; Прочитано: 2240 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
