Векторна алгебра

2.1 Найпростiшi операцiї над векторами

Означення. Вектором називають направлений вiдрiзок прямої, що задається упорядкованою парою точок, з яких перша називається початком, а друга - кiнцем вектора (рис. 2.1).

Вектори зображаються у виглядi вiдрiзкiв зi стрiлками i познача-ються символами або Модулем (довжиною) вектора називається вiддаль мiж початком i кiнцем вектора, що позначається символом . Вектор, у якого початок i кiнець спiвпадають, називається нуль-вектором. Позначається . Вектор, модуль якого дорiвнює одиницi, називається ортом.

Вектори називаються колiнеарними, якщо вони розташо-ванi на паралельних прямих: || ; вiдрiзняють вектори спiвнаправленi ­­ i протинаправленi ­¯ .

Вектори вважаються рiвними, якщо вони спiвнаправленi i модулi їх рiвнi. Це дозволяє привести вектори до одного початку.

Вектори називаються компланарними, якщо вони розта-шованi на прямих, паралельних однiй площинi (або розташованi в однiй площинi).

Сумою векторiв i називають новий вектор побудований по одному з двох правил (рис. 2.2):

а) по правилу паралелограма: вектори i приводяться до одного початку, на цих векторах будується паралелограм; тодi вектор, побудований на дiагоналi паралелограма з тим же початком i буде сумою .

б) по правилу трикутника: з кiнця будується вектор , тодi вектор, що виходить з початку вектора в кiнець вектора i буде сума .

Сума кiлькох векторiв будується за правилом багатокутника: з кінця першого вектора будується другий вектор, з кiнця другого вектора будується третiй вектор, i так дальше; тодi вектор, що виходить з початку першого вектора в кiнець останнього i буде сума (рис. 2.3)

Добутком вектора на число (скаляр) l називається новий вектор , що має такi властивостi:

1) || ; 2) | |=|l|| |; 3)вектор спiвнаправлений з вектором , якщо l>0, i протинаправлений вектору , якщо l<0.

Встановленi двi операцiї над векторами мають такi властивостi:

+ = ; + = + ; ( + )+ = +( + );

(l×p)× =l×(p× )=p×(l ); (l+p)× =l× +p× ;

( + )×l=l× +l× ; ×0= .

Наслiдок. Якщо || , то iснує таке число l, що =l ,

при цьому l=±| |/| |, якщо | |¹0.

Рiзницею векторiв i називають новий вектор

= - такий, що + = .