Выражение скалярного произведения

через координаты перемножаемых векторов

Пусть даны векторы: и .

Тогда, .

В силу 5 и 6 можно представить это как произведение многочлена на многочлен:

Все произведения, кроме скалярных квадратов, равны нулю, так как входящие в них векторы ортогональны.

Итак, скалярное произведение равно сумме попарных произведений одноименных проекций векторов, так как .

Условие перпендикулярности векторов может быть таким:

.

Скалярным произведением двух векторов можно воспользоваться для вычисления угла между ними:

или .

Отсюда и находим условие перпендикулярности (ортогональности) двух векторов: или .