Взаимное расположение двух плоскостей. Угол между плоскостями. Расстояние от точки до плоскости

Рассмотрим плоскости и , заданные своими общими уравнениями:

;

.

и

r – ранг основной матрицы;

R – ранг расширенной матрицы.

Возможны три случая взаимного расположения двух плоскостей:

1) плоскости параллельны, но не совпадают (r=1, R=2);

2) плоскости совпадают (r=1,R=1);

3) плоскости не параллельны, т.е. пересекаются по прямой (r=2).

Частым случаем является перпендикулярность двух плоскостей.

Для случаев 1) и 2) общим является то, что векторы и коллинеарны.

Угол между плоскостями – это один из смежных двугранных углов, образованных этими плоскостями.

Углом между двумя плоскостями и называется угол между нормальными векторами этих плоскостей.

Нормальный вектор к данной плоскости может иметь любое из двух противоположных друг другу направлений, поэтому угол между плоскостями определен неоднозначно: для угла возможны два варианта записи: и . Учитывая, что можно косинус угла между плоскостями находить по формуле:

, где и любые два вектора, перпендикулярные плоскостям и или

Условие параллельности двух плоскостей. Если плоскости и параллельны, то их нормальные вектора коллинеарные. Признаком колленеарности двух векторов является пропорциональность их координат.

Условие перпендикулярности двух плоскостей. Плоскости и перпендикулярны, следовательно, их нормальные вектора перпендикулярны ^ . Признаком перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения. A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана точка и плоскость : . Расстояние между ними, то есть длина перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость : определяется аналогично расстоянию от точки до прямой.