Вывод 1

Если в пространстве задан базис { ₁, ₂, ₃}, то между множеством векторов и упорядоченными тройками чисел (x,y,z) установлено взаимно однозначное соответствие

↔(x,y,z), (1)

определяемое разложением вектора в заданном базисе: .

Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел арифметической или координатной моделью трехмерного векторного пространства, покажем, что операции сложения векторов и умножения на число определены в координатной форме и, что координаты вектора определяют его длину и направление.

Для удобства будем считать, что , , – известный в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимно перпендикулярных векторов. Для простоты также ограничимся случаем плоскости.

Пусть , . Тогда и элементы геометрической модели и для них определена сумма

.

Учитываем, что , , и также элементы геометрической модели и, используя свойства 1–4 сложения и свойства 1–4 умножения, получаем

Согласно соответствию (1), установленному выше, заключаем, что – координаты вектора . Аналогично показывается, что вектор имеет координаты .

Используя теорему Пифагора, находим длину вектора на плоскости

и в пространстве

.

Наконец, для противоположного вектора находим координаты: .