Теорема размерности

1. Пусть вектор параллелен вектору ₁, тогда существует x Î R такое, что = x ₁.

2. Пусть векторы лежат в плоскости П и ₁ не параллелен ₂. Тогда всякий вектор Î П есть линейная комбинация векторов ₁ и ₂:

= х ₁ + у ₂.

3. Пусть векторы ₁, ₂ и ₃ не лежат в одной плоскости. Тогда всякий вектор есть их линейная комбинация:

= x ₁ + y ₂ + z ₃

Доказательство проведем только для случая 2.

Выберем произвольную точку О на плоскости П и отложим из нее векторы _{1, 2} и . На направления О ₁ и О ₂ отложим направленные проекции вектора (рис. 6), обозначив их, соответственно, х ₂ и у ₂. Тогда получим требуемое равенство = х ₁ + у ₂. Случай 2 доказан. Случай 1 – тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.

Будем говорить, что векторы ₁ и ₂ на рис. 6 образуют векторный базис на плоскости векторов, а числа х и у назовем координатами вектора в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.

Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x,y,z) (в заданном порядке) определяет единственный вектор в этом базисе.