 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Представление функции в терминах отношений
|
|
Функцией называется бинарное отношение f, если из 
и 
следует, что y = z.
Подмножество 
, называется функцией, если для каждого элемента 
, найдется не более одного элемента 
вида 
; при этом если для каждого элемента х имеется один элемент у вида , то функция называется всюду (полностью) определенной, в противном случае — частично определенной (недоопределенной).
Множество Мx образует область определения функции F, множество Му — область значений функции F. Часто вместо записи используют запись у = F(х); при этом элемент х называют аргументом или переменной, ау — значением функции F.
Пусть X, Y - некоторые множества. Говорят, что задана функция (отображения), действующая из множества X во множество Y, если задан закон или правило f, по которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из Y: y = f(x).
Пример. Пусть X = R (все вещественные числа) и Y = [-1; 1]. Рассмотрим функцию y = sin x. Каждому элементу из X поставлен в соответствие элемент из Y: пусть x = р/2, тогда y = sin р/2 = 1.
Множество Y называется множеством значений функции f. Элемент y = f(x) 
Y называют образом элемента x при отображении f. Элемент x - прообраз элемента y под действием отображения f. Множество X называется множеством прообразов отображения f.
Пример. Для функции y = sin x: x = R - множество прообразов; Y:=[-1; 1] - множество значений функции; y = 1 - образ x = р/2 при данном отображении (y = sin р/2 = 1), x = р/2 - прообраз элемента y = 1 при данном отображении.
Сопоставим с декартовым произведением двух множеств прямоугольную решетку, узлы которой взаимно однозначно соответствуют элементам декартова произведения. Подмножество декартова произведения на рисунках будем отмечать штриховкой соответствующих элементов.
Пример 1.1. На рис. 1.2, а изображено подмножество декартова произведения множеств Мx = {х1, х2, х3, х4} и Му = {у1, у1, у3}, не являющееся функцией; на рис. 1.2, б,-являющееся полностью определенной функцией; на рис. 1.2,в — частично определенной функцией.
Количество аргументов определяет местность функции. Выше были рассмотрены одноместные функции. Аналогично понятию декартова произведения двух множеств определим декартово произведение п множеств.
Если множество Мx в определении функции у = F(х) является декартовым произведением множеств Мx1, Мx2,..., Мxn, то получаем определение п-местной функции
у = F(х1, х2,..., хn).
Две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции и область ее значений задается так же, как и для бинарных отношений. Если область определения дf = Х и область значений сf 
Y, то говорят, что функция f задана на множестве Х со значениями во множестве Y, при этом f отображает множество Х во множество Y. Это отображение обозначается как f: Х 
Y.
Если f — функция, то вместо пишут y = f(х) и говорят, что y — значение, соответствующее аргументу х, или у — образ элемента х при отображении f. При этом х называют прообразом элемента у.
Назовем f — n - местной функцией из Х в Y, если f: Х Y. Тогда записываем y = f(х1, … хn) и говорим, что у — значение функции при значении аргументов х1, … хn.
Если функция (отображение) f сопоставляет каждому элементу 
элемент 
, то будем писать f: Х Y (такая функция может трактоваться как отношение 
с тем свойством, что для каждого существует в R точно одна пара вида <х,y>, 
; для наших же целей достаточно интуитивного понятия функции).
Отношение R 
Х 
Y, т.е. множество упорядоченных пар < х,у >, х X, у Y называется функцией тогда и только тогда, когда первые элементы этих пар не повторяются.
Пример. Отношение не является функцией, так как оно представлено следующими парами: <1,2>, <1,3>, <2,3>, <2,4>, <3,3>, <3,4>, <4,2>, <4,3>. Примером функции на том же декартовом произведении является отношение <1,2>,<2,4>, <3,4>, <4,3>.
Требование неповторяемости первых элементов упорядоченных пар, представляющих отношение, гарантирует однозначность отображения, т.е. функцию f: Х Y.
Дата публикования: 2014-11-04; Прочитано: 821 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
