Функция

В основе всех разделов дискретной математики лежит понятие функции.

Пусть Х — некоторое множество на числовой оси. Говорят, что на этом множестве определена функция f, если каждому числу хХ поставлено в соответствие определенное число у= f(х). При этом множество Х называется областью определения (задания) функции f, а совокупность значений у = f(х) — множество Y — областью ее значений. Для наглядности функцию у = f(х) представляют ее графиком в координатных осях хОу.

На рис. 5, в качестве примера, изображена функция у =| х|. Область определения этой функции — интервал (-∞, ∞). Область значений — интервал (0, ∞).

Переменную х называют аргументом функции, а у — ее значением. Значок f интерпретируется, как правило, преобразования аргумента х в значение у, т.е. представляет собой способ реализации соответствия. Этот способ может быть задан аналитически (формулой), в виде таблицы, графика или специальной вычислительной процедурой. Важно только то, что для каждого значения хХ он должен давать одно и только одно значение у = f(х).

Функция многих переменных у=f(х₁, х₂, …, х_n) вводится аналогично. Пусть задано множество Х₁ Х₂ ... Х_n. Тогда, если любому упорядоченному набору <х₁, х₂,..., x_n>Х₁ Х₂ ... Х_n по определенному правилу f поставлено в соответствие число у=f(х₁, х₂, …, х_n), то говорят, что на множестве Х₁ Х₂ ... Х_n определена функция многих переменных f(х₁, х₂, …, х_n).

Рассматривая вместо числовых множеств Х₁ Х₂ ... Х_n множества любой природы, приходим к самому общему определению функции. Пусть М и N — два произвольных множества.

Если каждому элементу хМ по некоторому правилу поставлен в соответствие один и только один элемент уN, то на множестве М определена функция f, принимающая значения из множества N.

Вместо термина «функция» часто употребляют термин «отображение», понимая под ним отображение одного множества в другое. В данном случае имеем отображения одного множества М в множество N. Записывают это так: f:М→N.