Определение доверительного интервала для средней наработки на отказ

Используется то обстоятельство, что отношение удвоенного значения суммарной наработки на отказ к среднему времени безотказной работы имеет распределение χ² , причём время отказа подчиняется экспоненциальному закону. Отсюда возникает возможность определять нижнее и верхнее значения Т, если задана доверительная вероятность α. Т.о. Из рис. 12.7 видно, что доверительная вероятность γ≡α, соответствующая заштрихованной площади, ограничена двумя значениями χ²: нижним значением, равным и верхним .

Рис.12.9.

Поэтому нижнее значение Т при известных величинах – суммарной наработке t_p и доверительной вероятности γ≡α будет равно:

, где = 2n+2 – число степеней χ²- распределения при определении Т_H; - значение вероятности того, что χ² больше . Для определения используется таблица квантилей распределения χ² [Л..] Имеем: - квантиль уровня “P” распределения χ².

Верхнее значение Т при тех же параметрах равно , где =2n – число степеней свободы χ²- распределения при определении Т_в.

.

Таким образом, границы доверительного интервала для Т определяются выражением:

(12.19)

; ; ;

Среднее значение средней наработки на отказ равно

Рассмотрим пример:

Получены следующие результаты по плану [N,U,N]; n₁,n₂ – соответственно числа отказов, полученные при первом (N ₁=21) и втором (N ₂=10) испытаниях:

tчас
n1
n2						-	-	-

Определить доверительный интервал для Т с доверительной вероятности α =0.8, а также Т _ср.

Решение.

Для первого испытания:
t_p=6*100+5*200+3*300+500+600+700+800+800=6300ч. ; K_н=2n+2=2*21+2=44; K_B=2n=42; ; ; .

Для второго испытания: t_p=100+2*200+4*300+2*400+500=3000ч.; K_н=2n+2=2*10+2=22; K_B=2n=20; ; ; ; .

Для значений была использована таблица, построенная на основе квантилей - распределения. В этой таблице K - число степеней свободы, γ - вероятность того, что принимает значение, большее указанного в таблице. Приведём форму этой таблицы: Значения в зависимости от K и γ:

Таблица 12.1. Таблица - рспределения

K	γ
0,99 … … … … … … … … … … … … … … 0,05
. .	,

Определение доверительного интервала для вероятности отсутствия отказа в одном испытании по числу обнаруженных отказов.

Этот случай возникает при решении следующих типовых задач. По линии связи передается N команд; “ n ” команд не доходят до исполнителя за данное время. Требуется определить доверительный интервал для вероятности прохождения команд за данное время. Аналогичная задача возникает при испытании N изделий с целью определения вероятности отсутствия отказов за данное время.

Доверительный интервал определяется из следующих уравнений для вероятности того, что число отказов будет не меньше “ n ”. Эти уравнения записываются с использованием биноминального закона распределения, определяющего вероятность появления числа “ n ” события “ A ” в N независимых испытаниях (см. 12.2).

;

(12.20)

где - число сочетаний из N по i, P_B и P_H – верхнее и нижнее значение вероятности отсутствия отказов в одном испытании.

По уравнения (12.20) составлены таблицы [2,3,4,8,15,20], позволяющие определить нижнее и верхнее значения доверительного интервала для вероятности отсутствия отказа по заданным значениям N и n. Например, решается задача:

Определить доверительный интервал с вероятностью α =0,9 для вероятности отсутствия отказа изделия в одном испытании, если при испытаниях N =40 изделий отказало 12.

По таблице [Л прил.8] находим P_H =0,6412; P_B =0,8382.