Метод квантилей

Это такой же эмпирический метод, как и метод моментов. Он состоит в том, что квантиль теоретического распределения приравниваются к эмпирической квантили. Если оценке подлежат несколько параметров, то соответствующие равенства пишутся для нескольких квантилей.

Рассмотрим случай, когда закон распределения F(t,α,β) с двумя неизвестными параметрами α, β. Пусть функция F(t,α,β) имеет непрерывно дифференцируемую плотность , принимающую положительные значения для любых возможных значений параметров α, β. Если испытания проводить по плану [N, U, r], r>>1, то момент появления - го отказа можно рассматривать как эмпирическую квантиль уровня , i=1,2 …, - эмпирическая функция распределения. Если бы t_l и t _r – моменты появления l-го и r-го отказов известны точно, значения параметров α и β можно было бы найти из уравнений

F(t_l,α,β)= q_e, F(t_r,α,β)= q_r (12.13)

Нам известны лишь приближённые значения квантилей q_{e и} q_{r .} Заменяя в уравнениях (12.13) значения квантилей их оценками, получаем уравнения , (12.14) (обычно ). Решение уравнений (12.14) являются состоятельными оценками для параметров при что непосредственно следует из непрерывности функции F(t,α,β). Можно показать, что эти оценки при весьма общих предположениях типа гладкости функции F(t,α,β) являются асимптотически несмещёнными и асимптотически нормально распределёнными.

Проиллюстрируем метод квантилей на примере закона Вейбулла: . Испытания проводятся по плану [N, U, r]. Выбираем значение . В результате испытаний фиксируются значения t _l и t_r моментов l-го и r-го отказов. Уравнения (1.2.14) переписываются в виде: Разрешая их относительно неизвестных параметров и , получаем оценки: ; .