Программа курса. Линейная алгебра и аналитическая геометрия»

Линейная алгебра и аналитическая геометрия».

Лекции

Линейная алгебра и аналитическая геометрия. Понятие о матрице. Определители 2-го и 3-го порядка, их свойства. Алгебраические дополнения и миноры. Понятие об определителе любого порядка.

Вычисление определителей. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Камера.

Алгебра матриц. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных уравнений. Ранг матрицы и его вычисление. Формулировка теоремы Кронекера-Капелли.

Трехмерное пространство. Векторы, линейные операции над векторами. Проекция вектора на вектор. Базис. Координаты вектора. Модуль и направляющие косинусы вектора.

Скалярное произведение векторов, его свойства, приложения. Векторное произведение векторов, его свойства.

Смешанное произведение векторов, его свойства, приложения.

Аксиоматическое определение линейного векторного пространства. Примеры. Линейная независимость системы векторов. Базис и размерность линейного пространства.

Аксиоматическое определение скалярного произведения. Евклидово пространство.

Векторное уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости. Угол между плоскостями, параллельность и перпендикулярность плоскостей. Понятие гиперплоскости и выпуклого многогранника.

Векторное уравнение прямой, каноническое и параметрическое уравнения прямой. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Точка пересечения прямой и плоскости. Угол между прямой и плоскостью, параллельность и перпендикулярность прямой и плоскости.

Линейные операторы. Матрица линейного оператора в заданном базисе. Нулевой, тождественный, проективный и гомотетичный операторы.

Действия с операторами. Сопряженный оператор и сопряженная матрица. Самосопряженный оператор и симметричная матрица.

Собственные значения и собственные векторы линейного оператора. Изменение матрицы линейного оператора при преобразовании базиса.

Преобразование ортонормированного базиса в ортонормированный.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Канонические уравнения кривых второго порядка (эллипс, гипербола, парабола). Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду.