 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Определенный интеграл, вычисление площадей
|
|
1. Понятие определенного интеграла.
Определенный интеграл – это число, которое находится по формуле Ньютона-Лейбница:
,
где 
– первообразная для функции 
, то есть 
;
, 
– нижний и верхний пределы интегрирования, показывающие, как меняется переменная интегрирования х.
Формула Ньютона-Лейбница связывает определенный и неопределенный интегралы. Чтобы ею воспользоваться, следует взять сначала неопределенный интеграл, т.е. найти первообразную, причем удобно взять произвольную постоянную равной нулю: 
, а затем вычислить разность значений этой первообразной в верхнем и нижнем пределах.
Например:
.
2. Геометрический смысл определенного интеграла.
Если функция 
неотрицательная на отрезке 
, то
,
где S – площадь под кривой на отрезке (рис. 8).
y y 
S
S
0 a b x
0 a b x 
Рис. 8 Рис. 9
3. Вычисление площадей плоских фигур.
Площадь фигуры, заключенной между кривыми 
и 
на отрезке , вычисляется по формуле
,
при этом 
для 
(рис. 9).
Задача. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями
и 
. Сделать чертеж.
Решение. Выполним чертеж.
Первое уравнение определяет параболу, а второе – прямую линию.
Для построения параболы найдем координаты ее вершины и точки пересечения ее с осями координат.
Если уравнение параболы 
, то вершина параболы находится в точке 
. В данной задаче 
, 
. Итак, вершина параболы – точка (3;– 4).
Точки пересечения параболы с осями.
С осью Ox: 
, тогда 
. Решив квадратное уравнение (прил.1, п. 2), получаем 
. Точки пересечения параболы с осью 
есть точки (1;0) и (5;0).
С осью Oy: 
, тогда 
. Точка пересечения параболы с осью 
есть точка (0;5).
Строим параболу по найденным точкам, замечая, что ветви параболы направлены вверх, т.к. 
(рис. 10).
Прямую строим по двум точкам, например,
при 
; при 
.
Получены точки: 
.
0 1 3 5 6 
–1
–4
Рис. 10
Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:
.
Решим полученное квадратное уравнение:
Найдем соответствующие ординаты 
из уравнения y = x –1: 
. Итак, точки пересечения параболы и прямой есть точки 
.
Заштрихуем плоскую фигуру, ограниченную параболой и прямой (рис.10). Здесь функции 
и 
ограничивают фигуру соответственно снизу и сверху, то есть при 
.
Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой
.
Ответ. Искомая площадь равна: 
Замечание. Если одна из линий – гипербола, например, xy = –6, то ее можно построить по точкам. Удобно взять точки с абсциссами 
и вычислить соответствующие им ординаты y, в нашем случае по формуле 
.
Если в ответе задачи получен логарифм числа, то значение логарифма можно взять из прил.1, п. 9.
.
.
Следовательно, экстремум в точке 
есть. Так как 
, то в точке – максимум функции.
6. Найдем значение функции 
в точке максимума:
.
Ответ. 
– точка максимума функции .
ЛИТЕРАТУРА
1. Высшая математика для экономистов/ Под ред. Н. Ш. Кремера. – М.: Банки и биржи, 1997.
2. Кудрявцев В. А., Демидович Б. П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1996.
3. Красс М. С., Чупрынов Б. П. Основы математики и ее приложение в экономическом образовании. – М.: Дело, 2001.
4. Математический анализ: Учебно-методическое пособие. – Новосибирск: СибУПК, 2003.
5. Методические указания по изучению элементарной математики для студентов 1 курса. – Новосибирск: СибУПК, 1989.
6. Письменный Д. Конспект лекций по высшей математике: В 2-х ч. – М.: Рольф, 2000.
ПРИЛОЖЕНИЯ
Приложение 1
Дата публикования: 2014-11-03; Прочитано: 322 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
