Повне відбиття і напрямлені хвилі

При повному відбитті від межі розділу відбита хвиля несе таку ж енергію, як і падаюча. На рис. 7.12 показана векторна діаграма, на якій середні значення вектору Пойнтинга розкладені на і . З рисунку видно, що нормальні компоненти взаємно знищуються, а дотичні складаються, при цьому потік енергії переноситься вздовж межі. При цьому формується особливий хвильовий процес, спрямований межею розділу середовищ.

Розглянемо спочатку повне відбиття від ідеально провідної межі , .

Перпендикулярна поляризація. З формул Френеля для цього виду поляризації (7.38) слідує, що в цьому випадку

. (7.63)

Поле в першому середовищі являється суперпозицією падаючої і відбитої хвиль (7.26):

. (7.64)

Через те, що відбиття повне, то , тоді

. (7.65)

Перетворити вираз (7.65) можна, якщо звернутися до відомих тригонометричних тотожностей виду

В результаті одержимо:

. (7.65)

Якщо провести аналогічні операції з падаючою і відбитою хвилями для вектору магнітного поля (7.27), то отримаємо:

(7.67)

Паралельна поляризація. При з (7.45), маємо

. (7.68)

Результуюче поле для цього виду поляризації з урахуванням попереднього алгоритму перетворення для електричного і магнітного полів будуть мати вигляд:

(7.69)

(7.70)

Проаналізуємо вирази для полів (7.66) і (7.67), (7.69) і (7.70). Кожне з них має характер хвилі, яка розповсюджується в напрямку у, а в площинах фронту (у=const) – це стояча хвиля (площина рівних амплітуд). Через те, що площини цих хвиль не співпадають (вони взаємно перпендикулярні), то хвиля являє собою неоднорідну плоску хвилю. Вона відрізняється від раніше розглянутої плоскої хвилі в ізотропному однорідному середовищі тим, що має і повздовжні (паралельні напрямку розповсюдження) складові.

При перпендикулярній поляризації вектор лежить в поперечній площині , а вектор має дві складові: поперечну і повздовжню (рис.7.15,а).

При паралельній поляризації, навпаки, вектор має дві складові і , а вектор лежить в поперечній площині (рис.7.15,б).

Процес характеризується двома хвильовими числами і , які зв'язані співвідношеннями:

(7.71)

Величина називається повздовжнім хвильовим числом, або сталою розповсюдження, а – поперечним хвильовим числом. При дійсному :

(7.72)

де – фазова швидкість хвилі;

– просторовий період, тобто довжина хвилі вздовж розповсюдження;

– період стоячої хвилі в площині фронту.

Фазова швидкість неоднорідних хвиль вище, ніж у однорідних хвиль

(7.73)

Такі хвилі, у яких називаються “швидкими” хвилями. На відстанях від межі розділу лежать площини, на яких виконується гранична умова . Ці площини можна замінити ідеально провідними площинами без будь-якого порушення структури поля. Одержується найпростіший плоский порожній хвилевід.

Формально, поле в другому середовищі, уявимо як заломлену хвилю:

. (7.74)

Згідно з другим законом Снелліуса

(7.75)

При повному відбитті, підкореневий вираз в (7.75) від’ємний, тому – уявна величина:

(7.76)

Якщо підставити (7.76) в (7.75), то отримаємо

. (7.77)

Так як при віддаленні від поверхні розділу двох середовищ (при ) поле не може необмежено зростати, в показнику необхідно вибрати знак “мінус”. Тоді поле в другому середовищу експоненціально зменшується при віддаленні від межі розділу середовищ (рис.7.13). Таким чином, поле в другому середовищу – плоска неоднорідна хвиля, яка розповсюджується вздовж z. Так як поле зосереджене поблизу поверхні розділу, то таку хвилю називають поверхневою хвилею. В цьому випадку, при повному відбитті, , тому швидкість хвилі в другому середовищі менше

(7.78)

Такі хвилі називають ще ” повільними” хвилями на відміну від швидких хвиль, у яких в даному середовищі. Кут заломлення являється комплексною величиною. Дійсна частина дорівнює і показує напрямок розповсюдження хвилі, а уявна – швидкість зменшення амплітуди цієї хвилі вздовж осі z.