Поляризація електромагнітних хвиль

Електромагнітна хвиля має векторний характер. Для її повної характеристики необхідно крім амплітуди, фази і частоти вказати поляризацію хвилі, тобто напрямлення векторів і в просторі. Для плоскої хвилі треба знати напрямок векторів і в площині хвильового фронту за період коливання. Взявши за основу падаючу хвилю, визначимо можливі випадки поляризації плоских хвиль.

З виразів (6.14) і (6.15) запишемо і компоненти падаючої хвилі:

(6.72)

Сталі і – комплексні величини, тобто

(6.73)

В середовищі з втратами – величина комплексна, тому складові і запишуться у вигляді

(6.74)

Перейдемо від комплексів до миттєвих значень:

(6.75)

(6.76)

Введемо позначення:

(6.77)

Тоді розділивши (6.75) на , а (6.76) на і скориставшись позначення (6.77), отримаємо

(6.78)

(6.79)

Визначимо з (6.78) співмножник :

(6.80)

Перетворимо (6.79) до більш зручного вигляду, застосувавши до множника відоме тригонометричне співвідношення вигляду . Тоді (6.79) буде мати вигляд:

(6.81)

Подальше перетворення полягають в наступному:

(6.82)

(6.83)

З урахуванням (6.82) і (6.83) вираз (6.81) приймає вигляд:

, (6.84)

або підводячи до квадрату обидві частини цієї рівності і виконавши нескладні перетворення, отримаємо

(6.85)

Складові і вектора напруженості електричного поля можна розглядати як координати кінця вектора на площині x y. Положення цього вектора визначає характер поляризації поля. Спростимо запис (6.85), зробивши слідуючи заміни

(6.86)

Тоді (6.85) запишеться у вигляді

(6.87)

Отриманий вираз являється рівнянням кривої другого порядку в координатах і . Таким чином, в загальному випадку кінець вектора переміщується по кривій другого порядку. В аналітичній геометрії показано, що характер цієї кривої визначається знаком детермінанту:

(6.88)

Якщо детермінант більше нуля , то крива представляє собою еліпс, в конкретному випадку коло. Якщо детермінант дорівнює нулю , еліпс вироджується в пряму лінію.

Покажемо, що в залежності від співвідношення амплітуд і і початкових фаз і можна отримати різні види поляризації.

А. Еліптична поляризація. При довільних і і різниці початкових фаз рівняння (6.85) представляє собою рівняння еліпса, який розташовується в площині XOY і вписаного в прямокутник з сторонами і (рис. 6.6) при фіксованому z і змінному t. Кінець вектора переміщується по еліпсу з кутовою швидкістю , виникає еліптична поляризація. В момент часу геометричним місцем точок кінця вектора являється гвинтова лінія (спіраль) з кроком на поверхні еліптичного циліндра (рис. 6.7). З плином часу гвинтова лінія, яка визначає орієнтацію вектора переміщується вздовж z з швидкістю .

В загальному випадку при довільному співвідношенні між початковими фазами, рівняння (6.85) представляє собою еліпс, велика вісь якого нахилена під деяким кутом до осі OX (рис. 6.8):

(6.89)

де .

Для визначення степені еліптичності, вводять коефіцієнт еліптичності, якій дорівнює

(6.90)

При отримуємо лінійну поляризацію; – кругову поляризацію. Таким чином, еліптично поляризована хвиля включає в себе хвилю лінійно поляризовану і хвилю з кутовою поляризацією. З рис. 6.8 видно, що при і (випадок синфазності або противофазності складових) еліптична поляризація вироджується в лінійну. Орієнтація площини поляризації залежить від співвідношення між і (рис. 6.8), в поглинаючих середовищах , розміри еліпса при русі вздовж z зменшуються (рис. 6.7).

Б. Кругова поляризація. В цьому випадку амплітуди складових і рівні, а їх початкові фази відрізняються на . Рівняння (6.85) запишеться у вигляді

(6.91)

В середовищі без втрат , тоді рівняння (6.91) приймає вигляд

(6.92)

Це рівняння представляє собою рівняння кола з сталим радіусом. Виникає кругова поляризація. Кінець вектора обертається при зміні часу і z по колу. Геометричним місцем точок кінця вектора при являється гвинтова лінія на поверхні кругового циліндра.

В залежності від напрямку обертання вектора розрізняють хвилі з правою і лівою круговою поляризацією (рис. 6.9, 6.10). складові і в цьому випадку визначаються виразами:

(6.93)

так як .

Величина вектора при цьому залишається незмінною:

Кут (рис. 6.9) між віссю x і вектором в фіксованій точці простору (z) визначається співвідношенням

(6.94)

З виразу (6.94) видно, що в кожній фіксованій точці спостереження , кут лінійно зростає по закону із збільшенням , змінюючись на за час одного періоду.

Лівогвинтова поляризація: . При такій умові складові буде відставати від на кут . Результуючий вектор в точці рівномірно обертається з кутовою швидкістю в напрямку від до (за часовою стрілкою, якщо дивитися в напрямку ), тобто в сторону складової, яка відстає по фазі; кінець вектора описує коло (рис. 6.8, а).

Але з (6.94) слідує також, що в кожний фіксований момент часу кут лінійно зменшується за законом із збільшенням координати , змінюючись на на відстані рівній . Отже, при вектор рівномірно повертається із збільшенням координати в напрямку від до (проти часової стрілки, якщо дивитися вздовж напрямку розповсюдження хвилі), роблячи один оберт на відстані . Кінці векторів , які відносяться до різних точок на осі Oz розташовані при цьому на лівогвинтовій круговій спіралі (рис. 6.8, б).

Правогвинтова поляризація: . В цьому випадку складова буде випереджати на кут . Зробивши аналогічні роздуми, що і для попереднього випадку, отримаємо, що при вектор обертається з кутовою швидкістю проти часової стрілки, тобто. від до (рис. 6.9, а). А в момент часу , вектор рівномірно повертається із збільшенням координати в напрямку від до (за часовою стрілкою, якщо дивитися вздовж напрямку розповсюдження хвилі). Кінці векторів розташовані на правогвинтовій круговій спіралі (рис. 6.9, б).

В. Лінійна поляризація. Якщо в рівнянні (6.85) , то його можна записати у вигляді

або

Звідки

(6.95)

Рівняння (6.95) являється рівнянням прямої лінії, нахил якої до осей визначається кутовим коефіцієнтом :

(6.96)

З цього виразу видно, що кут сталий і не змінюється за часом. В загальному випадку кут може змінюватися за часом. Отже, вектор в будь-який момент часу лежить в площині, яка проходить через вісь і складає кут з площиною ХОZ (рис. 6.9, а), якщо і т.д. і , якщо і т.д. (рис. 6.9, б). Вектор зберігає свою орієнтацію незміною, але його миттєве значення змінюється за часом з частотою . Таким чином, результуюча хвиля буде лінійно-поляризована.

Очевидно, що повертанням осей координат і відносно осі можна досягнути того, щоб вектор в новій системі координат мав тільки одну складову або (рис. 6.9, в). Будь-яку лінійно-поляризовану хвилю можна представити у вигляді суми двох хвиль з круговою поляризацією.

Нехай лінійно-поляризована хвиля розповсюджуються в напрямку осі і має вектор паралельний осі ОХ:

(6.97)

Додамо і віднімемо в правій частині в (6.95) вираз

отримаємо

(6.98)

Перша квадратна дужка в (6.96) – хвиля з правою круговою поляризацією, а друга – хвиля з лівою круговою поляризацією (рис. 6.10). Результуючий вектор в два рази перевищує амплітуду доданків, поляризованих по кругу.

При визначені поляризації хвилі розглядався тільки вектор . Очевидно, що такий же аналіз можна зробити і для вектора . В загальному випадку кінець вектора в фіксованій точці простору з плином часу також описує еліпс, подібний еліпсу вектора і повернутий відносно нього на кут (рис. 6.11).