Второго порядка 2 страница

В [1] без вывода для РОЦКП рекомендуется принимать

.

Тогда

.

Параметры РОЦКП по [1]

N
	1,189	1,414	1,682		2,378	2,838	3,364
	7,66		9,31		16,63		33,25
N'	11,66		23,31		58,63		177,25
a'	0,414	0,5	0,586	0,57	0,739	0,8	0,85	0,889

В некоторых случаях ортогональное планирование второго порядка не отвечает потребностям практики – при описании поверхности отклика, особенно в окрестностях точки оптимума, более значимой является оценка дисперсии уравнения в целом, чем оценка дисперсии отдельных коэффициентов полинома. В этом случае обычно стремятся к равномерности распределения информации в уравнении функции отклика по всем направлениям. Такому положению отвечают ротатабельные планы. Кроме сказанного, подобные планы второго порядка позволяют минимизировать систематические ошибки, связанные с неадекватностью представления результатов полиномами второго порядка. Но построение ротатабельного плана второго порядка более сложно, чем ортогонального, а сама задача построения не имеет однозначного решения. Один из подходов к построению таких планов состоит в следующем.

Путем специального подбора звездного плеча g ЦКП Бокса можно сделать ротатабельным, иначе говоря, ЦКП Бокса можно сделать или ортогональным или ротатабельным.

Точки ротатабельного ЦКП Бокса второго порядка располагают на концентрических гиперсферах, количество которых не менее двух. Первая гиперсфера может быть вырожденной, т. е. представлять собой центральную точку плана, ее радиус r₁ = 0. Именно такая сфера часто используется на практике.

Вторая гиперсфера соответствует вписанному в нее кубу, выбранному в качестве ядра плана. Для ядра х_i = 1, следовательно, радиус этой гиперсферы

r₂ = (х ₁² + х ₂² + … + х_k²)^1/2 = (k)^1/2.

Ядро представляет собой ПФЭ вида 2 ^k или ДФЭ вида 2 ^{k – p}, причем должно соблюдаться условие (k – p)/4 > 3/4. Следовательно, с учетом ограничений на ЦКП Бокса, если k ³ 5, то в качестве ядра можно использовать полуреплику, если k ³ 8, ядром может служить четверть реплика.

Третья гиперсфера имеет радиус r ₃ = 2 ^{k / 4} для ядра в виде ПФЭ и радиус r ₃=2^{( k - p )/4} для ядра в виде ДФЭ.

Таким образом, каждый фактор в ротатабельном ЦКП Бокса варьируется на пяти уровнях. В некоторых случаях радиусы второй и третьей гиперсферы совпадают:

n = 2:

r₂ = 2 ^1/2, r₃ = 2 ^2/4 = 2^1/2;

n = 8 и p = 2:

r₂ = 8 ^1/2 = 2 ^3/2, r₃ = 2 ^{(8 – 2)/4} = 2^3/2.

Коэффициенты модели и их дисперсии рассчитываются на основе использования обратной матрицы по формулам [Ас]:

;

; ;

;

;

;

;

;

;

.

Представленные формулы справедливы для ротатабельного планирования при любом количестве независимых переменных. Такое планирование не позволяет получить независимые оценки для всех коэффициентов модели, коррелированными оказываются коэффициенты (b₀, b _ii) и (b _ii, b _ij). Взаимную связь этих пар коэффициентов можно охарактеризовать ковариациями:

cov(b₀, b _ii) = – 2s²(ỹ) l₄ A/ N;

cov(b _ii, b _ij) = s² (ỹ) (1–l₄ )A/ N.

Если повторные наблюдения имеются только в центре плана, то

и величина

будет несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдения. При ненасыщенном планировании остаточная сумма

отличается от нуля. Здесь – величина, предсказанная уравнением модели, – найденная экспериментально. Величина

s _R ² =S_R / [ N –(k +1)(k +2)/2]

характеризует неадекватность модели и также является несмещенной оценкой дисперсии ошибок наблюдения.

На основании рассчитанных величин можно провести все необходимые проверки коэффициентов и модели в целом.

Иногда интерес представляет информация о функции отклика в некоторой окрестности центра плана. В этом случае следует добиться одинаковой погрешности модели внутри гиперсферы единичного радиуса. План, обеспечивающий такое свойство функции отклика, называется униформ-ротатабельным. Для его формирования достаточно обеспечить равенство дисперсии в центре плана (r = 0) и на поверхности гиперсферы радиуса r = 1. Этого добиваются подбором числа наблюдений n ₀ в центре плана, а именно параметр λ₄ следует взять равным положительному корню квадратного уравнения

2λ₄ (λ₄ – 1)(k + 2) + λ₄ (k + 1) – (k – 1) = 0.

Рассмотренное композиционное планирование представляет собой один из возможных подходов к построению ротатабельных планов второго порядка.

5.8.2. Рототабельный план на основе правильного многоугольника при n =2

U	x0	x1	x2	x3=x1x2	x4=x12-a	X5=x22-a
N
					–	–
…	…	…	…	…	…	…
V					–	–
…	…	…	…	…	…	…
N0					–	–
…	…	…	…	…	…	…
…	…	…	…	…	…	…
W
…	…	…	…	…	…	…
n0
	N
	N	0,5N0	0,125N0

Константа преобразования элементов столбцов, соответствующих квадратам факторов, для всех подобных планов составляет

.

Смотри, например, для столбцы i = 1 или 2 приведенного плана.

Соотношение может быть определено из уравнения выполнения условия ортогональности столбцов и

.

После несложных преобразований оно сводится к требованию

,

что выполняется при условии в таких планах

и следовательно N ₀= n ₀=0,5 N.

Таким образом число точек в центре плана для всех подобных планов равно числу точек на поверхности единичного гипершара и определяется типом использованного многогранника.

Константа преобразования для всех подобных планов составляет а=0,25.

Например, в рототабельном плане при n =2 на основе правильного шестиугольника присутствуют 7 отличающихся точек: N ₀=6 точек на единичной окружности и n ₀=6 совпадающих точек в центре плана (рис. 39).

Рис. 39. Рототабельный план при n =2 на основе правильного шестиугольника

Здесь при построении плана первый фактор варьируется на пяти уровнях, а второй – на трех уровнях.

Рототабельный план при n =2 на основе шестиугольника

	U
				1,0		0,75	-0,25
	0,5	0,866	0,433		0,5
	-0,5	0,866	-0,433		0,5
	-1			0,75	-0,25
	-0,5	-0,866	0,433		0,5
	0,5	-0,866	-0,433		0,5
				0,0		-0,25	-0,25
				-0,25	-0,25
				-0,25	-0,25
				-0,25	-0,25
				-0,25	-0,25
				-0,25	-0,25
	3,0	3,0	0,75	1,5	1,5

Существуют рототабельные планы, где оба радиуса не нулевые. При этом количество точек на каждой поверхности и отношение радиусов связаны.

Числа точек окружностей рототабельного плана и отношение их радиусов

Число точек внешней окружности
Число точек внутренней окружности
Отношение радиусов окружностей	0,204	0,267	0,304	0,189	0,25	0,176

Пример такого плана при n =2, N ₀=8, n ₀=6, R ₂ / R ₁=0,25

Рис. 40. Рототабельный план с двумя невырожденными окружностями

Планы для описания поверхности отклика

Композиционные планы

Применение линейных планов совместно с методом градиентного поиска оптимума позволяет достичь окрестностей точки оптимума. Поиск оптимального решения в этой области требует перехода от линейных моделей к моделям более высокого порядка – как минимум к полиномам второй степени. Полиномы второго порядка содержит

.

эффектов:

, j>i. (5.1)

Построение такой модели требует применения плана, в котором каждая переменная принимает хотя бы три различных значения. Существуют различные подходы к построению планов второго порядка. Можно воспользоваться ПФЭ типа 3 ^k, но такие планы обладают большой избыточностью. Например, для трех переменных количество точек плана составит 27, а количество оцениваемых коэффициентов в функции отклика равно 10. В соответствии с идеей пошагового эксперимента планирование рационально осуществлять путем добавления специально подобранных точек к “ядру”, образованному планированием для линейного приближения. Такие планы называют композиционными (последовательными), они позволяют использовать информацию, полученную в результате реализации линейного плана.

Композиционные планы используются обычно на заключительном этапе исследования, когда модель приходится подбирать последовательно, начиная с простейшего линейного уравнения, которое потом достраивается до полной квадратичной формулы. В этом случае композиционные планы дают выигрыш по числу опытов по сравнению с другими планами. Эти планы можно применять и при непосредственном построении функции отклика в виде полинома (5.1).

Решение подобных задач основано на применении ортогональных или ротатабельных центральных композиционных планов (ЦКП). Эти планы используют в качестве ядра полный факторный эксперимент или минимально возможные регулярные дробные реплики типа 2 ^{k – p}. В качестве дробной реплики применяют такую, в которой два любых парных взаимодействия по модулю не равны друг другу

(5.2)

для любых попарно различных индексов. Именно план ПФЭ или дробные реплики, удовлетворяющие указанному условию, служат ядром ЦКП. На практике широкое распространение получили два типа ЦКП, известные как планы Бокса и Хартли. Понятие “центральный” означает, что факторы принимают значения, симметричные относительно центра плана.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Бокса, если его ядром является ПФЭ 2 ^k или регулярная реплика типа 2 ^{k – p}, для которой парные взаимодействия не равны по модулю линейным факторам:

x_i ≠ ± x_sx_z; s ≠ z; i, s, z = 1, 2, …, k

и, кроме того, выполняется условие (5.2). Применение ПФЭ или регулярных реплик, отвечающих этим условиям, позволяет получить несмещенные оценки коэффициентов модели (5.1). Из условий построения дробной реплики следует, что разрешающая способность ядра плана должна быть больше четырех, т.е. определяющий контраст должен содержать не менее пяти переменных. Следовательно, ядром плана Бокса при k < 5 является ПФЭ, а при k ³ 5 может быть ДФЭ.

План Бокса можно сделать ортогональным либо ротатабельным. Но нельзя добиться одновременного и строго соблюдения обоих свойств. В некоторых случаях ЦКП можно сделать приближенно и ортогональным, и ротатабельным, если вначале построить ротатабельный план, а затем подобрать необходимое количество опытов в центральной точке.

Центральный композиционный план второго порядка называют планом Хартли, если его ядром является регулярная реплика типа 2 ^{k – p}, в которой некоторые парные взаимодействия равны по модулю линейным факторам. Иначе говоря, ЦКП второго порядка будет или планом Бокса или планом Хартли. Планы Хартли обычно более экономны по числу опытов, чем планы Бокса, но уступают им по точности оценивания коэффициентов, кроме того, их нельзя сделать ни ортогональными, ни ротатабельными. Планы Хартли целесообразно применять, если известно, что часть эффектов b_j или b_ju в модели отсутствует (следовательно, простые эффекты можно смешивать с парными взаимодействиями, не теряя в разрешающей способности плана) или тогда, когда дисперсия наблюдений относительно мала.

5.9.2. Композиционные планы типа В_n

Планы типа В_n представляют собой симметричные планы второго порядка с ядром в виде ПФЭ 2 ^k или ДФЭ 2 ^{k – p} , дополненные 2 k звездными точками с плечом g =1 и опытами в центре плана. Иначе говоря, эти планы состоят из 2 ^k (2 ^{k – p} ) вершин k -мерного гиперкуба с координатами ±1, из 2 k центров (n– 1)-мерных граней и некоторого числа опытов в центре гиперкуба. Количество точек плана с ядром из ПФЭ составляет N = 2 ^k + 2 k +1 (для ДФЭ N = 2 ^{k – p} + 2 k +1) при числе точек в центре гиперкуба равном единице. В каждой точке проводится равное число опытов. Планы этого типа имеют минимально количество уровней варьирования факторов, равное трем, что позволяет более точно выдерживать режимы работы изделий при натурных испытаниях по сравнению с планами, в которых требуется большее число уровней изменения управляемых переменных. Планы типа В_n близки к D - и G - оптимальным планам.

Обычно результаты опытов в нулевой точке служат для проверки гипотезы об адекватности модели экспериментальным данным. Если оценку параметров выполнять по результатам опытов в звездных точках и точках ядра, то [2]

;

;

;

,

где N ₁ – число точек ядра плана; – среднее значение отклика в u -й точке, полученное по r опытам. Если некоторые коэффициенты незначимы, то остальные уточняются по специальным формулам.

Планы для оценки влияния факторов.

Планы на латинских квадратах

При составлении планов поиска оптимальных значений функции и описания поверхности отклика предполагалось, что факторы представляют собой непрерывные величины. Однако некоторые параметры систем носят дискретный характер и принимают только относительно небольшое количество значений, например, емкость запоминающих устройств, тактовая частота системной шины персонального компьютера. Другие факторы по своей природе имеют не количественную, а качественную природу, в частности, однотипные изделия выпускаются целым рядом изготовителей. Этим изделиям можно приписать некоторые обозначения в номинативной шкале измерений.

Таким образом, существует параметры (характеристики), принимающие некоторое ограниченное количество значений, задаваемых в количественной или качественной шкале измерений. Необходимо в условиях воздействия других факторов оценить влияние таких параметров на показатель качества системы или определить их значимость. Полный перебор возможных сочетаний параметров системы потребует чрезмерно большого количества опытов. С целью рационального сокращения экспериментальных исследований применяют специальный вид планов – планы на латинских квадратах.

Латинский квадрат характеризуется особым расположением некоторого числа символов в ячейках, сгруппированных в строки и столбцы так, что каждый символ встречается один раз в каждой строке и в каждом столбце.

Латинским квадратом называется квадратная матрица размерности (), элементами которой являются латинские буквы. При этом каждая из n букв в каждом столбце и в каждой строке встречается один раз.

или

Если по диагонали квадрата идет одна и та же буква, то латинский квадрат называется каноническим.

Латинские квадраты используются для кодирования уровней качественного фактора.

При планировании латинский квадрат используется в рандомизированном виде, т.е. его строки и столбцы расположены случайным образом.

Греко-латинский квадрат.

Греко-латинский квадрат используется в случае, если число качественных факторов равно двум. Это тоже квадратная матрица, элементами которой являются две буквы - одна латинская, другая греческая. В греко-латинском квадрате комбинация греческой и латинской буквы встречается всего один раз.

Латинский квадрат Греческий квадрат

Объединив данные латинский и греческий квадраты, мы не получим греко-латинского квадрата:

Поменяв местами вторую и третью строки греческого квадрата и объединив полученные латинский и греческий квадраты, получим греко-латинский квадрат:

Пример латинского квадрата, размером n × n, для n = 3 представлен в табл. 6.1.

Таблица 6.1

a	b	c
b	c	a
c	a	b

Для любого n > 2 существует множество вариантов построения латинских квадратов. Количество вариантов латинских квадратов с ростом n быстро увеличивается и определяется формулой

N (n, n) = n!(n – 1)! L (n).

Некоторые значения L (n) представлены в табл. 6.2.

Таблица 6.2