Зубчатые передачи

Особенностью зубчатых механизмов является то, что все их звенья вращаются. Следовательно, чтобы определить скорости и ускорения любых точек их звеньев, достаточно знать размеры и соответствующие угловые скорости ω и ускорения ε этих звеньев.

Для определения угловых скоростей в зубчатых механизмах вводится понятие передаточного отношения (u) и пере­даточного числа (i).

Под передаточным отношением i -го звена к j -му звену (i_ij) по­нимают отношение угловой скорости i -го звена (ω _i) к угловой ско­рости j -го звена (ω _j).

(2.1)

Под передаточным числом и понимают отношение числа зубьев зубчатого колеса к числу зубьев шестерни.

,

где Z ₂ - число зубьев зубчатого колеса; Z ₁ - число зубьев шестерни.

Понятие передаточного отношения более общее, и поэтому его применение предпочтительнее.

В соответствии с принятой терминологией передаточное отно­шение для зубчатых механизмов (рис. 2.1) определится соответ­ственно:

- для внутреннего зацепления (рис. 2.1, а)

,

для внешнего зацепления (рис. 2.1, б)

.

В зависимости от величины передаточного отношения зубча­тые механизмы разделяют на передачи (u =1), редукторы (u ≥1), мультипликаторы (u <1), вариаторы (u =Var, плавно) и коробки скоростей (u =Var, дискретно).

Передаточное отношение в зубчатых механизмах можно вы­числять не только через угловые скорости ω соответствующих звеньев, но и через другие параметры передачи:

- числа оборотов n звеньев

; (2.2)

- радиусы r или диаметры d колес

; (2.3)

- числа зубьев z

. (2.4)

Рис. 2.1. Зубчатые механизмы:

а - с внутренним зацеплением колес; б - внешним зацеплением колес

Передаточное отношение сложного зубчатого механизма, обра­зованного в результате последовательного соединения n простых зубчатых механизмов (рис. 2.2), определяется как произведение частных передаточных отношений простых зубчатых механизмов, входящих в сложный.

. (2.5)

Рис. 2.2. Сложный зубчатый механизм

Если в (2.5) подставить (2.4), то получим формулу для опре­деления передаточного отношения такого сложного зубчатого ме­ханизма через числа зубьев зубчатых колес

. (2.6)

На рис. 2.3 представлен сложный зубча­тый механизм с последовательным соединением зубчатых колес, его передаточное отношение в общем случае должно определяться по формуле (2.5).

Выразив передаточное отношение такого механизма через чис­ла зубьев, получим

, (2.7)

где k - число внешних зацеплений.

Рис. 2.3. Зубчатый механизм с последовательным

соединением зубчатых колес

Из (2.7) следует, что величина передаточного отношения в зубчатых механизмах с последовательным соединением зубчатых колес определяется числом зубьев крайних колес, а промежуточ­ные колеса влияют только на направление вращения. Поэтому та­кие механизмы используют в устройствах, где требуется измене­ние направления вращения выходных звеньев, например, в короб­ках скоростей или для увеличения межосевого расстояния.

Промежуточные колеса в таких механизмах называют паразит­ными зубчатыми колесами.

Механизмы, имеющие зубчатые ко­леса с подвижными геометрическими осями (рис.2.4), называются планетарными.

Передаточное отношение планетар­ных механизмов определяют графиче­скими или аналитическими методами.

Рис.2.4. Планетарный зубчатый механизм: А, В, С, D, Е - кинематические пары; I - центральное (солнеч­ное) зубчатое колесо; 2 - сател­лит; H - водило; 3 - центральное зубчатое колесо с внутренним зацеплением

Передаточное отношение планетарных механизмов можно определить аналитическим методом (метод Виллиса). Идея метода состоит в том, что с целью остановки водила всем звеньям планетарного механизма мысленно сообщается дополни­тельная угловая скорость (–ω_H). В результате такого действия по­лучается механизм, у которого геометрические оси всех зубчатых колес будут не­подвижными. Такой механизм называют обращенным.

Угловые скорости звеньев обращенного механизма соответст­венно определятся

;

;

.

Найдем передаточное отношение для обращенного меха­низма:

(2.8)

В реальном механизме .

С учетом этого (2.8) примет вид

(2.9)

где - передаточное отношение планетарного механизма от зве­на 1 к звену Н при неподвижном звене 3.

Из (2.9) найдем, что передаточное отношение исследуемого планетарного механизма определится

(2.10)

Выразим передаточное отношение через числа зубьев зубчатых колес.

Передаточное отношение () для обращенного механизма (механизма с неподвижными осями) в соответствии с (2.5) можно представить следующим образом

. (2.11)

После подстановки (2.11) в (2.10) найдем

(2.12)

Отметим, что формулы (2.11) и (2.12) позволяют находить пе­редаточное отношение только планетарного механизма, изобра­женного на рис. 2.4, для других планетарных механизмов эти формулы надо выводить по описанной выше методике.