Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей

Способ вспомогательных секущих плоскостей для построения линии пересечения поверхностей заключается в следующем:

1) вводят произвольную плоскость, которая пересекает заданные поверхности;
2) определяют линии пересечения поверхностей этой плоскостью;

3) на пересечении найденных линий получают точку, принадлежащую линии пересечения поверхностей;

4) проводят несколько таких вспомогательных плоскостей, находят необходимое количество точек, принадлежащих искомой линии пересечения;

5) соединяют найденные точки.

Вспомогательные секущие плоскости должны быть выбраны так, чтобы линии пересечения с каждой плоскостью проецировалась на плоскости проекций в виде простейших линий - прямой или окружности.

Построение линии пересечения начинают с определения характерных точек, к которым относятся экстремальные точки – верхняя и нижняя точки относительно той или иной плоскости проекций; точки, расположенные на очерковых образующих – точки видимости; точки наибольшей ширины кривой.

Пример 7.3. Построить фронтальную и профильную проекции линии пересечения цилиндра с 1/4 частью сферы (рис. 7.3).

Рис. 7.3

1.Одна из поверхностей – цилиндр – является профильно-проецирующей, образующие цилиндра перпендикулярны П₃. Проекция линии пересечения на П₃ определяется без дополнительных построений.

2.Отмечаем профильные проекции характерных точек, расположенные на окружности основания цилиндра – точки 1₃, 2₃, 3₃, 4₃.

3.Вводим вспомогательные секущие профильно-проецирующие плоскости α_П3, β_П3, γ_П3, δ_П3, ψ_П3. Они пересекают сферу по окружностям, а цилиндр – по линейным образующим.

4. Строим фронтальные проекции сечений каждой поверхности вспомогательными плоскостями, находим точки пересечения сечений в каждой плоскости – точки 4₂, 7₂ и 8₂,1₂ и 2₂, 5₂ и 6₂, 3₂.

5. Соединяем полученные точки, определив видимость линии пересечения.

Пример 7.4. Построить проекции линии пересечения конуса с полусферой, экватором расположенным в П₁ (рис. 7.4).

Оси вращения поверхностей расположены в одной плоскости, параллельной П₂. Линия пересечения имеет плоскость симметрии, поэтому на горизонтальной проекции строится половина изображения.

Рис. 7.4

Высшая точка 1 построена как точка пересечения главного меридиана сферы с крайней левой образующей конуса. Низшая точка 2 является точкой пересечения экватора сферы с основанием конуса.
Промежуточные точки 3, 4, 5 найдены с помощью вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня α, β и γ, проведенных произвольно.

Вспомогательная плоскость α пересекает полусферу по окружности радиуса R_сф, а конус – по параллели радиуса R_кон. На пересечении горизонтальных проекций этих сечений построена точка 3₁. Фронтальная проекция точки 3 принадлежит плоскости α_П2.

Точки 4, 5 построены аналогично точке 3.

Задача 7.5.Построить проекции линии пересечения цилиндра с призмой.

Задача 7.6.Построить проекции сферы с горизонтальным и вертикальным сквозными отверстиями.

Задача 7.7.Построить проекции линии пересечения сферы с цилиндром.

Задача 7.8.Построить проекции линии пересечения сферы с конусом.

Задача 7.9.Построить проекции линии пересечения цилиндра с тором.

Задача 7.10.Построить проекции линии пересечения сферы с конусом.

Задача 7.11. Построить проекции линии пересечения цилиндра с конусом.

Задача 7.12.Построить проекции линии пересечения призмы с тором.

Задача 7.13.Построить проекции линии пересечения