Пересечение двух многогранников

Для построения линии пересечения многогранных поверхностей определяют точки, в которых ребра одной из поверхностей пересекают грани другой и ребра второй пересекают грани первой (задача на пересечение прямой линии с плоскостью). Через найденные точки в определенной последовательности проводят ломаную линию.

В том случае, когда один из многогранников занимает частное положение (т.е. его боковые грани проецируются на одну из плоскостей проекций в многоугольник), задача построения линии их пересечения решается достаточно просто. Проекция линии пересечения совпадает с проекцией многогранника на той плоскости проекций, где он – многоугольник. Задача сводится к построению отсутствующих проекций ломаной линии.

Частное положение может занимать только призма.

Пример 7.1. Построить проекции линии пересечения пирамиды и призмы частного положения (рис. 7.1).

1. Призма расположена так, что все ее боковые грани перпендикулярны П₁. На П₁ ее боковая поверхность проецируется в линию, точнее в треугольник D₁E₁F₁. И горизонтальной проекцией линии пересечения призмы DEFD*E*F* и пирамиды SABC является ломаная линия 1₁Е₁5₁.

2. Грани призмы пересекают также грани SBC и SAB пирамиды. Отметим точки излома линии пересечения 1₁Е₁5₁, расположенные на пересечении ее с ребрами пирамиды. А именно точки 1₁, 2₁, 3₁, 4₁, 5₁, 6₁. Т.к. ребро ЕЕ* призмы пересекает две грани SAB и SAC пирамиды, то 3₁ ≡6₁.

3. Горизонтальная проекция линии пересечения данных поверхностей – ломаная линия 1₁2₁3₁4₁5₁6₁. Строим фронтальные проекции этих точек. Т. к. точки 1, 2, 4, 5 лежат на ребрах пирамиды, то их фронтальные проекции 1₂, 2₂, 4₂, 5₂ получаем по линиям связи. Для нахождения фронтальных проекций 3₂ и 6₂ точек 3 и 6, лежащих на гранях SAB и SAC соответственно, проводим через точки 3₁ и 6₁образующие S₁7₁ b S₁8₁. По линиям связи находим проекции точек 7₂ и 8₂ на ребрах основания А₂С₂ и А₂В₂ пирамиды. Отмечаем на них точки 3₂ и 6₂. Соединяем точки, получаем замкнутую ломаную 1₂2₂3₂4₂5₂6₂1₂. Последовательность соединения определяем по горизонтальной проекции по правилу принадлежности соседних точек пересечения одной и той же грани.

Рис. 7.1

4. Видимость точек и линий на П₁ определяем по принадлежности граням пирамиды. Т.к. грани S₂A₂C₂ и S₂В₂С₂ невидимые, то и линии, лежащие на них, тоже невидимые

Пример 7.2. Построить проекции линии пересечения поверхностей общего положения: четырехугольной пирамиды SABCD и треугольной призмы TFGE*F*G* (рис. 7.2).

Линия пересечения многогранников проходит через точки пересечения ребер первого многогранника с гранями второго. Для решения применим метод вспомогательных плоскостей как при построении точек пересечения прямой линии с плоскостью.

1. Через ребра призмы EE', FF', GG' проводим вспомогательные плоскости уровня Ф, Ф', Ф''. Горизонтальные проекции линий пересечения этих плоскостей с призмой совпадают с проекциями ребер призмы.

Рис. 7.2

2. Горизонтальная проекция вспомогательной плоскости Ф₁ проходит по ребру G₁G₁'. Линия пересечения с пирамидой проходит через точку основания 1₁ и параллельна ребру S₁A₁. По линиям связи находим фронтальную проекцию 1₂ и через нее проводим прямую, параллельную А₂S₂, которая является фронтальной проекции линии пересечения плоскости Ф и пирамиды.

Там, где эта линия пересекает ребро G₂G₂', лежит фронтальная проекция 7₂ точки пересечения ребра GG' и грани SAD пирамиды. По линиям связи находим горизонтальную проекцию точки - 7₁.

3. Применяя вспомогательную плоскость Ф', аналогично строим точку 5₂, а по ней находим горизонтальную проекцию - 5₁.

4.Применяя вспомогательную плоскость Ф'', аналогично строим точку 4₂, а по ней находим горизонтальную проекцию точки – 4₁.

5. Горизонтальная проекция линии пересечения плоскости Ф''' и граней EGG'E' и FGG'F' призмы проходит вдоль А₁С₁, через точки 9₁ и 10₁ на основании призмы. По линиям связи находим положение точек 9₂ и 10₂, через которые проводим образующие призмы, параллельные ее боковым ребрам. На пересечении с ребрами S₂A₂ получим точки 6₂ и 8₂. Затем по линиям связи определяем горизонтальные проекции этих точек – 6₁ и 8₁.

6. Соединив одноименные проекции точек, получаем фронтальную 4₂5₂6₂7₂8₂4₂ и горизонтальную 4₁5₁6₁7₁8₁4₁ проекции замкнутой ломаной линии пересечения призмы и пирамиды.

7. Определяем видимость отдельных участков линии пересечения и ребер многогранников.