Примеры решения задач. Задача 1.Виток, по которому течет ток I=20А, свободно установился в однородном магнитном поле В = 16 мТл

Задача 1. Виток, по которому течет ток I=20А, свободно установился в однородном магнитном поле В = 16 мТл. Диаметр d витка равен 10 см. Какую работу нужно совершать, чтобы медленно повернуть виток на угол α = относительно оси, совпадающей с диаметром?

Решение: При медленном повороте контура в магнитном поле индукционными токами можно пренебречь и считать ток в контуре неизменным. Работа сил в этом случае определяется выражением

А = I(Φ₂ - Φ₁).

где Φ₁ и Φ₂ – магнитные потоки, пронизывающие контур в начальном и конечном положениях.

Работа внешних сил будет равна по модулю работе сил поля и противоположна ей по знаку, т.е.

А_вн = I(Φ₁ – Φ₂).

Так как в начальном положении контур установился свободно (положение устойчивого равновесия), то момент внешних сил, действующий на контур, равен нулю. В этом положении вектор магнитного момента контура сонаправлен с вектором (рис. 3.7 а) и магнитный поток Φ₁ максимален (α=0, cosα = 1), т.е. Φ₁=BS (где S – площадь контура). В конечном положении (рис. 3.7 б) вектор перпендикулярен вектору (, ) и

О

I

a

О

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEA/yN4V8MA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbERPTU/CQBC9m/gfNmPiTbYQYkxlIUYl4aAgIAnchu7Y NnZnm92hlH/PHkw8vrzvyax3jeooxNqzgeEgA0VceFtzaeB7O394AhUF2WLjmQxcKMJsenszwdz6 M6+p20ipUgjHHA1UIm2udSwqchgHviVO3I8PDiXBUGob8JzCXaNHWfaoHdacGips6bWi4ndzcgaa fQwfx0wO3Vv5KV8rfdq9D5fG3N/1L8+ghHr5F/+5F9bAOK1PX9IP0NMrAAAA//8DAFBLAQItABQA BgAIAAAAIQDw94q7/QAAAOIBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9UeXBlc10ueG1s UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADHdX2HSAAAAjwEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALgEAAF9yZWxzLy5yZWxz UEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADMvBZ5BAAAAOQAAABAAAAAAAAAAAAAAAAAAKQIAAGRycy9zaGFwZXht bC54bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEA/yN4V8MAAADbAAAADwAAAAAAAAAAAAAAAACYAgAAZHJzL2Rv d25yZXYueG1sUEsFBgAAAAAEAAQA9QAAAIgDAAAAAA== " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

I

L t1UKDXHTtVBSKC5JzEtJzMnPS7VVqkwtVrK34+UCAAAA//8DAFBLAwQUAAYACAAAACEAH4ZFuMUA AADbAAAADwAAAGRycy9kb3ducmV2LnhtbESPX2vCQBDE3wv9DscKfasXi0hJPUVsCz70n9pCfVtz axKa2wt3a4zf3isU+jjMzG+Y6bx3jeooxNqzgdEwA0VceFtzaeBz+3x7DyoKssXGMxk4U4T57Ppq irn1J15Tt5FSJQjHHA1UIm2udSwqchiHviVO3sEHh5JkKLUNeEpw1+i7LJtohzWnhQpbWlZU/GyO zkDzHcPLPpNd91i+yse7Pn49jd6MuRn0iwdQQr38h//aK2tgPIHfL+kH6NkFAAD//wMAUEsBAi0A FAAGAAgAAAAhAPD3irv9AAAA4gEAABMAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAFtDb250ZW50X1R5cGVzXS54 bWxQSwECLQAUAAYACAAAACEAMd1fYdIAAACPAQAACwAAAAAAAAAAAAAAAAAuAQAAX3JlbHMvLnJl bHNQSwECLQAUAAYACAAAACEAMy8FnkEAAAA5AAAAEAAAAAAAAAAAAAAAAAApAgAAZHJzL3NoYXBl eG1sLnhtbFBLAQItABQABgAIAAAAIQAfhkW4xQAAANsAAAAPAAAAAAAAAAAAAAAAAJgCAABkcnMv ZG93bnJldi54bWxQSwUGAAAAAAQABAD1AAAAigMAAAAA " filled="f" stroked="f" strokeweight=".5pt">

б

Рисунок 3.7 – К задаче 1

магнитный поток Φ₂ = 0. Перепишем выражение работы внешних сил А_вн с учетом сделанных замечаний:

Так как площадь контура , то работа

Задача 2. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,1 Тл равномерно вращается рамка, содержащая N = 1000 витков, с частотой . Площадь S рамки равна 150 см². Определить мгновенное значение ЭДС , соответствующее углу поворота рамки 30⁰.

Решение: мгновенное значение ЭДС индукции определяется основным уравнением электромагнитной индукции Фарадея-Максвелла:

(1)

Потокосцепление ψ = NΦ, где N–число витков, пронизываемых магнитным потоком Φ. Подставив выражение ψ в формулу (1), получим:

(2)

При вращении рамки магнитный поток Φ, пронизывающий рамку в момент времени t, изменяется по закону где B–магнитная индукция; S–площадь рамки; ω–циклическая частота. Подставив в формулу (2) выражение Φ и продифференцировав по времени, найдем мгновенное значение ЭДС индукции:

(3)

Циклическая частота ω связана с частотой n вращения соотношением Подставив выражение ω в формулу (3), получим

Задача 3. В магнитном поле с индукцией В = 10^-2 Тл вращается стержень длиной l = 0,2 м с постоянной угловой скоростью ω = 100 с^-1. Найдите ЭДС индукции, возникающую в стержне, если ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям индукции магнитного поля.

Решение: Согласно закону электромагнитной индукции на концах стержня возникает постоянная разность потенциалов, равная

где – магнитный поток, проходящий через поверхность, описываемую стержнем за время

При вращении стержня под прямым углом к линиям индукции магнитного поля где – площадь сектора, описываемого стержнем.

За время стержень поворачивается на угол , и площадь сектора равна так как

Следовательно, изменение магнитного потока равно

и

Задача 4. По соленоиду течет ток I = 2 А. магнитный поток Φ, пронизывающий поперечное сечение соленоида, равен 4∙10^-6 Вб. Определить индуктивность L соленоида, если он имеет N = 800 витков.

Решение: Индуктивность L соленоида связана с потокосцеплением ψ соотношением ψ = LI, откуда L = ψ/I. Заменив здесь потокосцепление ψ его выражением через магнитный поток Φ и число витков N соленоида (ψ = ΦN), получим

Задача 5. При скорости изменения силы тока ΔI/Δtв соленоиде, равной 50 А/с, на его концах возникает ЭДС самоиндукции = 0,08 В. Определить индуктивность L соленоида.

Решение: Индуктивность соленоида связана с ЭДС самоиндукции и скоростью изменения силы тока в его обмотке соотношением

Вынося постоянную величину L за знак приращения, получим

Опустив знак минус в этом равенстве (направление ЭДС в данном случае несущественно) и выразив интересующую нас величину - индуктивность, получим

Задача 6. Обмотка соленоида состоит из одного слоя плотно прилегающих друг к другу витков медного провода диаметром d = 0,2 мм. Диаметр D соленоида равен 5 см. по соленоиду течет ток I = 1 А. Определить количество электричества Q, протекающее через обмотку, если концы ее замкнуть накоротко. Толщиной изоляции пренебречь.

Решение: Возможны два способа решения.

1-й способ. Количество электричества dQ, которое протекает по проводнику за время dt при силе тока I, определяется равенством

(4)

.

Полное количество электричества, протекающее через проводник за время t, будет . Сила тока в данном случае убывает экспоненциально со временем и выражается формулой

.

Внося выражение силы тока I под знак интеграла и интегрируя от 0 до ∞ (при t→ ∞ I→ 0), получим

Подставим пределы интегрирования и определим количество электричества, протекающее через обмотку:

(5)

2-й способ. Подставив в формулу (4) вместо силы тока I выражение ее через ЭДС индукции и сопротивление R соленоида, т.е. I = , найдем .

Но сязана со скоростью изменения потокосцепления ψ по закону Фарадея-Максвелла: тогда

Интегрируя, получаем

(6)

Потокосцепление ψ пропорционально силе тока в соленоиде. Следовательно, ; ψ₂ = 0, так как ψ₂ соответствует тому моменту, когда ток в цепи обратится в нуль. Подставив выражения ψ₁ и ψ₂в формулу (6), получим Q = ψ₁/R, или

что совпадает с формулой (5).

Для определения заряда, протекающего через обмотку соленоида, следует найти индуктивность L соленоида и сопротиивление R обмотки соленоида, которые выражаются формулами

где -магнитная постоянная; N – число витков; l₁–длина соленоида; S₁–площадь сечения соленоида; – удельное сопротивление провода; l–длина провода; S – площадь сечения провода; d–диаметр провода; d₁–диаметр соленоида.

Подставив найденные выражения L и R в формулу (5), получим

(6)

Заметим, что длина провода l может быть выражена через диаметр d₁, соленоида соотношением l = πd₁N, где N – число витков, тогда формуле (6) можно придать вид

Но l₁/N есть диаметр провода, так как витки плотно прилегают друг к другу. Следовательно,

Вывод: Очень важно при анализе задач учитывать всю совокупность явлений, связанных с возникновением тока индукции, его взаимодействием с магнитным полем и влиянием на условия, вызвавшие его появление.

Контрольные вопросы второго уровня (сборник задач)

1. Катушка, имеющая 100 витков площадью 5 см², помещена в однородное магнитное поле так, что плоскость витков перпендикулярна вектору индукции. Концы провода катушки подсоединены к обкладкам плоского конденсатора емкостью 4 мкФ. Какой заряд окажется на обкладках этого конденсатора, если магнитное поле будет убывать со скоростью 20 Тл/с? [4 мкКл]

2. Индукция магнитного поля, перпендикулярного витку диаметром 22 см, изменяется от -0,40 до +0,55 Тл за 80 мс, причем плюс означает, что поле направлено от наблюдателя, минус - к наблюдателю. Рассчитайте ЭДС индукции. Определите, в каком направлении течет индукционный ток. [0,45 В]

3. Квадратная рамка со стороной 6,8 мм, сделанная из медной проволоки с площадью поперечного сечения 1 мм², помещена в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям индукции. Индукция магнитного поля равномерно изменяется на 2 Тл за 0,1 с. Чему равна при этом сила тока в рамке? [2 А]

4. Замкнутый провод изогнут в виде восьмерки и помещен в однородное магнитное поле перпендикулярно линиям магнитной индукции. Считая петли восьмерки окружностями радиусами 3 см и 7 см, найдите силу тока, который будет протекать по проводу при убывании магнитного поля со скоростью 3 мТл/с. Сопротивление единицы длины провода 2 Ом/м. [30 мкА]

5. Замкнутая круглая катушка из 100 витков помещена в однородное магнитное поле, параллельное ее оси. При изменении магнитной индукции на 0,2 Тл через катушку проходит заряд 40 мкКл. Чему равен радиус катушки, если сопротивление единицы длины провода 0,1 Ом/м? [ ]

6. Квадратный виток со стороной 21,0 см поворачивается на 360^° в магнитном поле с индукцией Вза 45 с. Чему равно среднее значение В, если ЭДС индукции в среднем составляет 180 мВ? [0,14 Тл]

7. В однородном магнитном поле находится обмотка, состоящая из 1000 витков квадратной формы. Направление линий поля перпендикулярно плоскости витков. Индукция поля изменяется на 2∙10^-2 Тл за 0,1 с, в результате чего в обмотке выделяется 0,1 Дж тепла. Площадь поперечного сечения проводов обмотки 1 мм², их удельное сопротивление 10^-8 Ом∙м. Определите сторону квадрата. [34 мм]

8. Квадрат из проволоки сопротивлением 5 Ом поместили в однородное магнитное поле с индукцией 0,2 Тл перпендикулярно линиям индукции, затем, не вынимая проволоку из поля и не меняя ее ориентации, деформировали ее в прямоугольник с отношением сторон 1:3. При этом по контуру прошел заряд 4 мкКл. Какова длина проволоки? [0,8 м]

9. Радиус эластичного витка увеличивается с постоянной скоростью 46 см/с. Виток находится в магнитном поле с индукцией 0,24 Тл, перпендикулярном плоскости витка. В начальный момент времени площадь витка была равна 0,285 м². Определите ЭДС индукции в момент времени t = 2 с. [0,85 В]

10. Медное кольцо радиусом 5 см помещают в однородное магнитное поле с индукцией 8 мТл перпендикулярно линиям индукции. Какой заряд пройдет по кольцу, если его повернуть на 180° вокруг оси, совпадающей с его диаметром? Площадь сечения проводника 1 мм². [24 мКл]

11. Плоский виток провода расположен перпендикулярно однородному магнитному полю. Когда виток повернули на 180°, по нему прошел заряд 7,2 мкКл. На какой угол надо повернуть виток, чтобы по нему прошел заряд 1,8 мкКл? [60°]

12. Круглая рамка вращается в однородном магнитном поле вокруг оси, проходящей через ее диаметр и перпендикулярно вектору индукции. Найдите максимальную величину ЭДС индукции, возникающей в рамке, если площадь рамки 0,2 м², угловая скорость вращения 50 рад/с, а индукция магнитного поля 0,1 Тл. [1 В]

13. Максимальная ЭДС индукции, возникающая в прямоугольной рамке, вращающейся в однородном магнитном поле, равна 3 В. С какой угловой скоростью вращается рамка, если максимальный магнитный поток через рамку 0,05 Вб? Ось вращения рамки проходит через середины ее противоположных сторон и перпендикулярна линиям индукции поля. [60 рад/с)

14. Чему равна максимальная ЭДС, которая может возникнуть при движении самолета со скоростью 900 км/ч, если размах его крыльев 20 м? Горизонтальная составляющая магнитного поля Земли 0,03 мТл, вертикальная составляющая 0,04 мТл. [0,25 В]

15. Сторона прямоугольного каркаса, имеющая длину 10 см, скользит со скоростью 1 м/с по двум другим сторонам, оставаясь с ними в электрическом контакте. Плоскость прямоугольника перпендикулярна линиям индукции однородного магнитного поля 0,01 Тл. Найдите силу тока в прямоугольнике через 0,9 с после начала движения. Сопротивление единицы длины проводника 1 Ом/м. В начальный момент площадь прямоугольника равна нулю. [0,5 мА]

16. По П-образной рамке, наклоненной под углом 30° к горизонту и помещенной в однородное вертикальное магнитное поле, начинает соскальзывать без трения перемычка массой 30 г. Длина перемычки 10 см, ее сопротивление 1 мОм, индукция поля 0,1 Тл. Найдите установившуюся скорость движения перемычки. Сопротивлением рамки пренебречь. [2 см/с]

17. Рамка площадью 200 см² равномерно вращается (n = 15 об/с) относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярно линиям индукции однородного магнитного поля. Среднее значение ЭДС индукции за время, в течение которого магнитный поток, пронизывающий рамку, изменится от нуля до максимального значения, составляет 0,12 В. Найдите значение магнитной индукции. [0,1 Тл]

18. Магнитный поток через площадь контура, создаваемый током 10 А, текущим по контуру, равен 0,9 мВб. Определите ЭДС самоиндукции, возникающую в контуре при равномерном убывании силы тока до 5 А за 1 мс. [0,45 В]

19. На катушке с сопротивлением 10 Ом поддерживается напряжение 50 В. Чему равна энергия магнитного поля, запасенная в катушке, если ее индуктивность 20 мГн? [0,25 Дж]

20. Индуктивность катушки 2 мГн. Ток частотой 50 Гц, протекающий по катушке, изменяется по синусоидальному закону. Чему равно среднее значение ЭДС самоиндукции, возникающей за интервал времени, в течение которого ток в катушке изменяется от минимального до максимального значения? Амплитудное значение силы тока 10 А. [40 мВ]

21. Индуктивность соленоида, намотанного в один слой на немагнитный каркас, 1,6 мГн. Длина соленоида 1 м, сечение 20 см². Сколько витков приходится на каждый сантиметр длины соленоида? [80 витков/см]

22. Чему равен диаметр проволоки, намотанной на картонный цилиндр диаметром 2 см, если индуктивность получившейся однослойной катушки равна 1 мГн? Витки вплотную прилегают друг к другу, число витков n = 1000. Толщиной изоляции пренебречь. [0,4 мм]

23. В однородном магнитном поле с индукцией 0,01 Тл находится прямой проводник длиной 8 см, расположенный перпендикулярно к линиям индукции. По проводнику течет ток 2 А, величина которого поддерживается неизменной. Под действием сил поля проводник переместился на некоторое расстояние, при этом была совершена работа 80 мкДж. Найдите расстояние, на которое переместился проводник. [5 см]

24. Плоский контур площадью 200 см² находится в однородном магнитом поле с индукцией 0,01 Тл. Плоскость контура перпендикулярна линиям поля. В контуре поддерживается неизменный ток силой 5 А. Определите работу внешних сил по перемещению контура с током в область пространства, магнитное поле в которой отсутствует. [ 1 мДж]

25. Прямоугольный контур площадью 150 см² с током 4 А, на который действует только однородное магнитное поле с индукцией 0,1 Тл, занял положение устойчивого равновесия. Какую после этого надо совершить работу, чтобы медленно повернуть его на 90° вокруг оси, проходящей через середины противоположных сторон? [6 мДж]

26. Соленоид индуктивностью L = 4∙10^-3 Гн содержит N = 600 витков. Определить магнитный поток Ф, если сила тока I, протекающего по обмотке, равна 12 А. [80 мкВб]

27. Обмотка соленоида с железным сердечником содержит N = 500 витков. Длина lсердечника равна 50 см. Как и во сколько раз изменится индуктивность L соленоида, если сила тока, протекающего по обмотке, возрастет от I₁ = 0,1 А до I₂ = 1 А. [Уменьшится в 5,8 раза]

28. Две катушки расположены на небольшом расстоянии одна от другой. Когда сила тока в первой катушке изменяется с быстротой ΔI/Δt = 5 А/с, во второй катушке возникает ЭДС индукции = 0,1 В. Определить коэффициент взаимной индукции катушек. [20 мГн]

29. В цепи шел ток I₀ = 50 А. Источник тока можно отключить от цепи, не разрывая ее. Определить силу тока I в этой цепи через время t = 0,01 с после отключения ее от источника тока. Сопротивление R цепи равно 20 Ом, ее индуктивность L = 0,1 Гн. [6,75 A]

30. Источник тока замкнули на катушку с сопротивлением R = 10 Ом и индуктивностью L = 1 Гн. Через какое время сила тока замыкания достигнет 0,9 предельного значения? [0,23 с]

Контрольные вопросы третьего уровня (тесты)

1. На рисунке представлена зависимость магнитного потока, пронизывающего некоторый замкнутый контур, от времени. ЭДС индукции в контуре не возникает в интервале...
1.	E	2.	B	3.	C	4.	A	5.	D
2. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При движении рамки параллельно проводнику со скоростью V, в рамке...
1.	Индукционного тока не возникнет
2.	Возникнет индукционный ток в направлении 1-2-3-4
3.	Возникнет индукционный ток в направлении 4-3-2-1
3. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При движении рамки от проводника со скоростью V, в рамке...	V I 1 2 4 3
1.	Индукционного тока не возникнет
2.	Возникнет индукционный ток в направлении 1-2-3-4
3.	Возникнет индукционный ток в направлении 4-3-2-1
4. На рисунке показан длинный проводник с током, около которого находится небольшая проводящая рамка. При движении рамки от проводника со скоростью V, в рамке...	V I 1 2 4 3
1.	Возникнет индукционный ток в направлении 1-2-3-4
2.	Возникнет индукционный ток в направлении 4-3-2-1
3.	Индукционного тока не возникнет
5. Сила тока, протекающего в катушке, изменяется по закону I = 5sin100t. Если индуктивность катушки L = 100 мГн, то максимальное значение ЭДС самоиндукции, наведенное на концах катушки равно...
1.	0,5 В	2.	5 мВ	3.	50 В	4.	5 В
6. Контур площадью S = 10-2 м2 расположен перпендикулярно к линиям магнитной индукции. Магнитная индукция изменяется по закону В= (2 + 5t2) 10-2. Модуль ЭДС индукции, возникающей в контуре в конце пятой секунды, равен...
1.	50 мВ	2.	12,7 мВ	3.	25 мВ	4.	5мВ
7. На рисунке показана зависимость силы тока от времени в электрической цепи с индуктивностью 1 мГн. Модуль среднего значения ЭДС самоиндукции в интервале от 15 до 20 с равен...
1.	10 мкВ	2.		3.	20 мкВ	4.	4 мкВ
8. Сила тока, протекающего в катушке, изменяется по закону I = 5sin100t. Если индуктивность катушки L = 100 мГн, то магнитный поток, пронизывающий катушку, изменяется по закону...
1.	Ф = 50 cos 100t	2.	Ф = 0,5 sin 100t
3.	Ф = ‑0,5 cos 100t	4.	Ф = 50 sin 100t
9. На рисунке показана зависимость силы тока от времени в электрической цепи с индуктивностью 1 мГн. Модуль среднего значения ЭДС самоиндукции в интервале от 5 до 10 с равен...
1.	20 мкВ	2.	10 мкВ	3.	0 мкВ	4.	2 мкВ
10. Сила тока, протекающего в катушке, изменяется по закону I = 5 sin 10p t. Если индуктивность катушки L = 0,2 Гн, то мгновенное значение ЭДС самоиндукции, наведенное на концах катушки в момент времени t= 0,05 с равно...
1.	10 В	2.	-10 В	3.		4.	0,2 В
11. Индуктивность контура зависит от...
1.	Скорости изменения магнитного потока сквозь поверхность, ограниченную контуром
2.	Формы и размеров контура, магнитной проницаемости среды
3.	Материала, из которого изготовлен контур
4.	Силы тока, протекающего в контуре
12. На рисунке представлена электрическая схема, составленная из источника тока, катушки, резистора и трех ламп. После замыкания ключа Кпозже всех остальных загорится лампа номер...
1.		2.		3.
13. По параллельным металлическим проводникам, расположенным в однородном магнитном поле, с постоянной скоростью перемещается перемычка. Зависимости индукционного тока от времени соответствует график...
1.		2.		3.		4.	t
14. Проводник в форме кольца помещен в однородное магнитное поле, как показано на рисунке. Индукция магнитного поля уменьшается со временем. Индукционный ток в проводнике направлен …
1.	Против часовой стрелки
2.	Для однозначного ответа недостаточно данных
3.	По часовой стрелке
4.	Ток в кольце не возникает
15. Какая формула определяет величину магнитного потока через поверхность S?   1. 2. 3. 4. 5.

16. Как записывается теорема Гаусса для вектора индукции магнитного поля?

1. 2. 3. 4. 5.