Энергия магнитного поля

Для определения энергии магнитного поля рассмотрим контур, состоящий из источника э.д.с. - ε, катушки индуктивности - L и сопротивления - R (рис.3.5). При замыкании цепи ток возрастает от 0 до I, и, следовательно, возникает э.д.с. самоиндукции ε_is, направленная против э.д.с. ε, возбуждающей ток. При размыкании цепи сила тока уменьшается от I до 0, что вызывает появление э.д.с. самоиндукции ε_is того же направления, что и направление внешней ε. Можно предположить, что на увеличение тока в контуре затрачивается дополнительная работа, идущая на создание энергии магнитного поля. При снижении тока эта энергия выделяется в виде дополнительного джоуль-ленцева тепла.

ε

R

L

Рисунок 3.5 - К определению энергии магнитного поля

Пусть при замыкании контура ток меняется со скоростью dI/dt. Тогда в контуре индуцируется э.д.с. самоиндукции ε_s, равная -LdI/dt, препятствующая изменениям тока. В контуре действует также постоянная э.д.с. ε. Если за положительное направление тока принять то направление, в котором ε заставляет течь ток в контуре, то полная э.д.с. в любой момент времени будет равна ε - LdI/dt. Эта суммарная э.д.с. вызывает ток I через сопротивление R. На сопротивлении происходит падение напряжения, равное IR. Закон Ома для контура имеет вид:

.

Подсчитаем работу, совершаемую источником э.д.с. за время dt. Для этого воспользуемся формулой для мощности тока N=dA/dt=Iε. Объединив два последних выражения, получим

Первое слагаемое dA₁ = I₂Rdt – это работа, расходуемая на нагревание проводника, т.е. тепло, выделяемое в проводнике за время dt. Второе слагаемое dA₂ = LIdI – работа, обусловленная индукционными явлениями. Данная дополнительная работа, затрачиваемая на увеличение силы тока в контуре от 0 до I, находится как интеграл:

.

Полученная работа LI²/2 представляет собой собственную энергию тока в контуре с индуктивностью L.

Увеличение силы тока в проводнике вызывает соответствующее усиление его магнитного поля, которое, подобно электрическому, обладает энергией. Найденная нами собственная энергия тока в контуре есть не что иное, как энергия W_m магнитного поля этого контура с током. Эта энергия запасена в магнитном поле катушки так же, как энергия электрического поля запасена в заряженном конденсаторе. Таким образом,

.

В этой формуле магнитная энергия выражена через параметры, характеризующие контур с током – силу тока I и индуктивность катушки L. Ту же энергию W_m можно выразить через параметры, характеризующие само магнитное поле, а именно, напряженность поля , магнитную индукцию и объем занимаемого полем пространства V. Для этого найдем энергию магнитного поля соленоида. Воспользуемся полученным нами ранее выражением для индуктивности соленоида:

L = n²μμ₀V.

Индукция магнитного поля соленоида В = nμμ₀I, откуда I = B/nμμ₀. Таким образом, искомая энергия:

.

Так как В= μμ₀Н, то .

Если магнитное поле однородно, его энергия распределена равномерно по всему объему поля с некоторой объемной плотностью w_m:

.

Последнее соотношение можно переписать в трех эквивалентных формах:

.

Если магнитное поле неоднородно, его объемная плотность меняется от точки к точке. Зная w_m в каждой точке, можно найти энергию поля, заключенную в некотором объеме V. Для этого нужно вычислить интеграл:

.

Контрольные вопросы первого уровня

1. Что называется магнитным потоком? Чему равен магнитный поток сквозь произвольную замкнутую поверхность?

2. В чем заключается суть опытов Фарадея? Приведите примеры.

3. Сформулировать закон электромагнитной индукции и закон Ленца.

4. Выведите закон электромагнитной индукции на основе закона сохранения энергии.

5. Что называется явлением самоиндукции?

6. Что называется индуктивностью? От чего зависит индуктивность? Каковы единицы измерения индуктивности?

7. Чему равна индуктивность соленоида?

8. Чему равна ЭДС самоиндукции? Как направлен ток самоиндукции при убывании тока в катушке?

9. Что называется явлением взаимной индукции? От чего зависит коэффициент взаимной индукции?

10. Чему равна энергия магнитного поля? Чему равна объемная плотность энергии магнитного поля?

Методические указания по решению задач

При решении задач на закон электромагнитной индукции следует придерживаться следующей схемы.

1. Проанализировать условие задачи, выявить причины изменения потока вектора магнитной индукции. Поток вектора изменяется за счет того, что со временем меняется либо магнитное поле, либо площадь, ограниченная контуром, либо угол между вектором и нормалью к контуру.

2. Затем выражение для потока вектора магнитной индукции нужно представить в развернутом виде и записать изменение этого потока за время .

3. Записать выражение для закона электромагнитной индукции и, если этого требует условие задачи, дополнительные условия. Решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.

Цель: Расчет электродвижущей силы индукции и силы тока индукции.