Резонанс напряжений

Резонансом напряжений называют явление резонанса в участке электрической цепи, содержащей последовательно соединенные индуктивный и емкостной элементы (ГОСТ Р52002-2003).

Определим полное комплексное сопротивление R, L, C цепи (рис. 4.2)

Рис. 4.2

где

(4.2)

Условие (4.1) j = 0 выполнимо, если в выражении (4.2) соблюдается условие

что равносильно

(4.3)

Отсюда следует, что резонанса можно достичь изменением частоты, индуктивности, емкости:

(4.4)

Частоту w0 называют резонансной частотой (L и C заданы), соответственно L 0 и C 0 – резонансными индуктивностью и емкостью. Выполнение условия равенства индуктивного и емкостного сопротивлений (4.3) для последовательной цепи означает, что и напряжения на этих участках цепи будут одинаковы по модулю

Условие (4.3) , справедливое для цепи с последовательно соединенными R, L, C элементами, может быть переписанов виде условия резонанса напряжений для любой цепи

(4.5)

Ток в последовательной R, L, C цепи можно определить

В режиме резонанса это выражение сводится к При этом ток I имеет максимальное значение. Если реактивные сопротивления XC = XL при резонансе превосходят по значению активное сопротивление R, то напряжения на индуктивности и емкости могут значительно превысить напряжение на сопротивлении и, следовательно, на входе цепи. Поэтому резонанс при последовательном соединении называют резонансом напряжений.

Векторные диаграммы для трех режимов работы: дорезонансного, резонансного, послерезонансного – приведены на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Свойства резонансного контура могут быть описаны с помощью волнового сопротивления, добротности, затухания.

Волновое сопротивление контура определяется величиной реактивного сопротивления емкости или индуктивности в момент резонанса:

Волновое сопротивление резонансного контура , [Ом] определяется индуктивностью, емкостью и не зависит от частоты приложенного напряжения.

Добротность – безразмерная величина, показывающая, во сколько раз напряжение на реактивном элементе больше входного (или на активном сопротивлении), если цепь находится в режиме резонанса

Затухание – безразмерная величина, обратная добротности

Зависимости полного, реактивного, активного сопротивлений или проводимостей цепи, угла разности фаз j от частоты называют частотными характеристиками (рис. 4.4).

Рис. 4.4

где

Если R = 0, то цепь становится чисто реактивной и ее проводимость

Рис. 4.5

Реактивная проводимость В (w) (рис. 4.5) при R= 0 имеет три характерные частоты – два нуля (при w = 0, w = ¥) и один полюс (при w = w0). По характеру кривой В( w ) можно заметить, что с увеличением частоты В убывает:

так как

Частотные характеристики I (w), UR (w), UL (w), UC (w) называют резонансными кривыми (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Пусть U вх = const, тогда

При w = 0 I = 0, так как конденсатор не пропускает постоянный ток. При w = ¥ I = 0, так как сопротивление катушки бесконечно большое. Максимум тока наблюдается при w = w0, так как Z имеет минимальное значение, равное R. Напряжение на активном сопротивлении R

повторяет характеристику тока в масштабе напряжения.

Напряжение на емкости С

При w = 0 все входное напряжение приложено к конденсатору, так как ХС ® ¥, тогда как при и напряжение на конденсаторе стремится к нулю. Максимум UC наступает при частоте, меньшей w0, так как для получения UC необходимо ток I умножить на убывающую величину

Напряжение на индуктивности

Поведение характеристики UL( w ) можно проанализировать аналогичным образом, что и поведение характеристики UС( w ). Экстремумы UL (w) и UС (w), так же как и экстремумы В (w), наступают при причем

Для сопоставления качества резонансных цепей резонансные кривые тока строят в относительных координатах (рис.4.7).

Рис. 4.7

(4.6)

Полоса пропускания – это диапазон частот, при которых относительный ток I/I0 не меньше некоторой величины, называемой уровнем полосы пропускания. Пусть (рис. 4.7), тогда полосу пропускания можно определить как диапазон частот, при которых в цепи выделяется мощность не меньше половины максимальной, т.е. мощности в момент резонанса

Полосу пропускания можно определить с помощью выражения (4.6), приравняв его к величине

В этом случае слагаемое под корнем должно быть равно 1, где – так называемая обобщенная расстройка, равная ± 1.

Из (4.6) следует, что и, следовательно, j = arctg a = ± 45 °. Таким образом, на границах полосы пропускания обобщенная расстройка равна ±1, а угол сдвига фаз составляет ± 45 °.