На комплексной плоскости

Из курса математики известна формула Эйлера

(3.1)

Комплексное число изображают на комплексной плоскости вектором, численно равным 1 и составляющим угол a с осью вещественных чисел. Умножим левую и правую части выражения (3.1) на

(3.2)

Угол a в (3.1) может быть любым. Положим, что т. е. угол

a изменяется пропорционально времени, тогда (3.2) можно переписать

где

Таким образом, синусоидально изменяющийся ток можно представить в виде

(3.3)

т. е. как проекцию на ось мнимых чисел.

Комплексное число можно представить

(3.4)

где - комплексная амплитуда; модуль ее равен а угол,

под которым вектор проведен к оси вещественных чисел, равен на-

чальной фазе y.

Комплексная амплитуда синусоидального электрического тока – комплексная величина, модуль и аргумент которой равны соответственно амплитуде и начальной фазе данного синусоидального электрического тока (ГОСТ Р52002-2003).

Комплексная амплитуда изображает соответствующую величину: ток, напряжение, ЭДС на комплексной плоскости для момента

времени

Перепишем (3.3)

Заменим равенство и знак мнимой части (Jm) на знак соответствия , тогда

а учитывая (3.4), последнее выражение можно записать

Пример 1. Переход от мгновенного значения к комплексной амплитуде.

Пусть i = 10sin (w t + 45 °) A, где Im = 10 A, y = 45 °,

тогда

Пример 2. Переход от комплексной амплитуды к мгновенному значению.

Пусть тогда