Скалярное произведение векторов. В механике и физике часто приходится иметь дело со следующей задачей: найти работу силы , если точка

В механике и физике часто приходится иметь дело со следующей задачей: найти работу силы , если точка, на которую действует эта сила, совершает перемещение, равное вектору .

Если точка движется по направлению силы, то, работа силы равна произведению величины силы на длину перемещения. Если же точка движется под углом к направлению силы, то работает только та составляющая силы , направление которой совпадает с направлением перемещения. Проектируя силу на это направление, получаем: . Следовательно, работа силы будет равна: По двум данным векторам мы определили скаляр, называемый скалярным произведением этих векторов.

Скалярным произведением векторов a и b называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначать скалярное произведение векторов будем через :

(3.9)

Свойства скалярного произведения.

1) Скалярное произведение коммутативно, т.е. .

2)

3) тогда и только тогда, когда векторы ортогональны или хотя бы один из них равен нулю.

Эти свойства вытекают непосредственно из определения.

4) Скалярное произведение двух векторов равно произведению модуля одного на проекцию другого на направление первого, то есть .

Это вытекает из определений скалярного произведения и проекции вектора на ось.

5) Для любых векторов и любых чисел и выполнено равенство (распределительный закон):

, в частности и .

6) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат: если и то

(3.10)

Действительно, b тогда

Используя распределительный закон, получаем, что

Последнее равенство получилось так, как .

7) Косинус угла между двумя векторами 0 равен:

Отметим, что для перпендикулярности векторов необходимо и достаточно чтобы выполнялось условие:

Пример 3.8. Векторы , 4. Найти а) , б) , в) .

Имеем: a) б)

в) (3

Пример 3.9. Векторы образуют угол ; зная, что угол между векторами .

Имеем: . Воспользуемся равенством (3.11):