Теорема Кронекера-Капелли

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается теоремой Кронекера-Капелли, но для ее формулировки нам потребуется новое понятие - ранг матрицы.

Пусть дана матрица

Выберем в ней произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка , определитель которой называется минором -го порядка матрицы . Нас будут интересовать порядки тех миноров, которые отличны от нуля, а именно наибольший по размерам из этих миноров. При этом полезно учитывать следующее замечание, если все миноры -го порядка матрица равны нулю, то равны нулю и все миноры большего порядка.

Наибольший порядок отличных от нуля миноров называется рангом матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (2.26). Составим для нее расширенную матрицу :

Теорема 2.2. (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (2.26) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов системы (2.26).

Эта теорема полностью отвечает на вопрос о совместности системы. Вопрос же о количестве решений совместной системы линейных уравнений решается следующим утверждением:

совместная система (2.26) тогда и только тогда имеет единственное решение, когда ранг матрицы равен числу неизвестных.