Методи розробки нелінійних оптимізаційних моделей економічних систем

Для розробкинелінійних оптимізаційних моделей економічних систем вирішуються задачі нелінійного програмування.

Нелінійне програмування – це математичні методи визначення максимуму або мінімуму функції за наявності обмежень у вигляді нерівностей або рівнянь. Максимізувавши або мінімізувавши функцію, вона є прийнятим критерієм ефективності вирішення задачі, відповідним поставленій меті. У цьому випадку визначений критерій, як і в лінійному програмуванні, має назву цільової функції.

Цільова функція задач нелінійного програмування полягає в тому, щоб знайти умови, що визначають цільову функцію мінімумом або максимумом. Рішення, що задовольняє умові задачі і відповідає визначеній меті, називається оптимальним планом. Нелінійне програмування необхідно для того, щоб вибрати найкращий план розподілу обмежених ресурсів з метою вирішення поставлених економічних задач цілях вирішення. У загальному вигляді постановка задачі нелінійного програмування зводиться до наступного: умови задачі представляються за допомогою системи нелінійних рівнянь або нерівностей, що виражають обмеження, які накладаються на використання наявних ресурсів.

У загальному вигляді математична модель задачі нелінійного програмування формулюється таким чином:

f =(x₁,x_2, …,х_n) → min (max). (6.1)

При цьому ці змінні повинні задовольняти обмеженням:

g₁(x₁,x_2, …,х_n) ≤b₁,

…………………………

g_m(x₁,x_2, …,х_n) ≤b_m,

g_m+1(x₁,x_2, …,х_n) ≥b_m+1,

(6.2)

g_k(x₁,x_2, …,х_n) ≥b_k,

g_k+1(x₁,x_2, …,х_n)=b_k+1,

………………………

g_p(x₁,x_2, …,х_n)=b_p.

x₁,x_2,…,х_n ≥0, де одна з функцій f, g_i нелінійна.

Для задач нелінійного програмування немає єдиного методу вирішення. Залежно від виду цільової функції і системи обмежень розроблені спеціальні методи вирішення, до яких відносяться метод множників Лагранжа, градієнтні методи, наближені методи вирішення, графічний метод.

Розглянемо деякі з них. Основні ідеї графічного методу: максимум і мінімум досягається в точках дотику лінії рівня з областю допустимих рішень, яка задається системою обмежень. Наприклад, якщо лінії рівня - прямі, то точки дотику можна визначити, використовуючи геометричне значення похідної.

Широке використання при здійсненні нелінійного програмування отримав метод Лангранжа, приклад застосування якого наведено нижче.

Приклад. Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,5х²+0,6ху+0,4у²+ +700х+600у+2000, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 500 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?

Вирішення

Складемо функцію Лагранжа

L(x, y, ) =0,5х²+0,6ху+0,4у²+ +700х+600у+2000+ (х+у-500).

Дорівнюючи до нулю її часні похідні, отримаємо

х+0,6у+700+ =0,

0,6х+0,8у+600+ =0,

х+у-500=0.

Вирішивши систему, знайдемо (0, 500, -1000).

Використаємо достатні умови для визначення знайденого значення

L (x₀,y₀)=1, L (x₀,y₀)=0.8, L (x₀,y₀)=0.6. Функція g= х+у-500. g =1, g =1.

= -(0·L ·L + g ·L · g + g ·g ·L - g ·L ·g -0·L ·L - g · g ·L )=0,6>0

Таким чином, в точці (0;500) функція L має умовний мінімум.

Відповідь: Вигідно виробляти тільки 500 одиниці товару В, а товар А не виробляти.

Питання і завдання для самоконтролю до змістового модулю 3

Питання для самоконтролю:

1. Охарактеризуйте сутність цілочислового програмування.

2. Розкрийте напрями формулювання і вирішення задач цілочислового програмування:

3. Які методи використовують при вирішенні задач цілочислового лінійного програмування. Охарактеризуйте їх.

4. Представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування.

5. У чому полягає метод Гоморі, представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування цим методом.

6. У чому полягає метод віток і меж, представте алгоритм вирішення задач цілочислового програмування цим методом.

7. Охарактеризуйте математичну модель цілочислової транспортної задачі.

8. Назвіть види і особливості вирішення задач цілочислового лінійного програмування.

9. Назвіть і охарактеризуйте основні поняття, які пов’язані з нелінійними зв’язками в економічних системах.

10. Визначте поняття нелінійного програмування й сутність вирішення задач нелінійного програмування.

11. Охарактеризуйте графічний метод вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

12. Охарактеризуйте метод Лагранжа вирішення задач нелінійного програмування при формуванні нелінійних оптимізаційних моделей.

Завдання для самоконтролю:

1. Знайти оптимальний цілочисловий план задачі Z(X) = х₁ - Зх₂ + 5х₃ + +2х₄ –max за умови:

x₁+x₂+x₃ =15

2x₁+ 3x₃+x₄=8,

х_j, > 0, х_j — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

2. Отримати цілочисловий оптимальний план задачі Z(X) x₁— 4х₂ — 2х₃ + Зх₄ —> max за умови

3x₁+x₂+8x₃+x₄=35

x₁+x₃+x₄≤6

x_j≥ 0, х_j — цілі числа, j = 1, 2, 3, 4.

3. Контейнер обсягом 5 м³ розташований на контейнеровозі вантажністю 12 т. Контейнер необхідно заповнити вантажем двох найменувань. Маса одиниці вантажу m_j (в тонах), обсяг одиниці вантажу V_j (в м³), вартості Cj
(в умовних грошових одиницях) наведені в табл. 6.1.

Таблиця 6.1 - Маса одиниці вантажу m_j (в тонах), обсяг одиниці вантажу V_j
(в м³), вартості Cj (в умовних грошових одиницях)

Вид вантажу у	mj	V,	Сj

Необхідно завантажити контейнер таким чином, щоб вартість вантажу, що перевозить була максимальною.

4. Знайти екстремуми функції L(x₁,x₂)=2x₁+x₂ при обмеженнях , .

5. Підприємець вирішив виділити на розширення своєї справи 50 тис. грн. Відомо, якщо на придбання нового устаткування затрачувати х тис. грн., а на зарплату прийнятих працівників у тис. грн., то приріст обсягу продукції складе Q=0.001x^0.4·y^0.2. Як необхідно розподілити виділені грошові ресурси, щоб приріст обсягу продукції був максимальним.

6. Загальні витрати виробництва задані функцією Т=0,8х²+0,7ху+0,6у²+800х+500у+1600, де х і у відповідно кількість товарів А і В. Загальна кількість виробленої продукції повинна дорівнювати 400 одиниць. Скільки одиниць товару А і В потрібно виробити, щоб витрати на їх виготовлення були мінімальними?