Резонансные явления в электрических цепях

В электрических цепях, содержащих одновременно катушки индуктивности и конденсаторы, на одной или нескольких частотах в зависимости от количества реактивных элементов и схемы соединения возможна взаимная компенсация их реактивных сопротивлений. Такое явление называется – фазовым резонансом или просто резонансом и широко применяется в различных функциональных радиотехнических узлах. На резонансных частотах сопротивления электрической цепи является резистивным и принимает максимальное (минимальное) значение, а фазовый сдвиг между входными напряжением и током равен нулю. В электрических цепях может наблюдаться – резонанс напряжений (последовательный резонанс), при котором сопротивление цепи становится резистивным, принимает минимальное значение, а напряжение на реактивных элементах могут достигать больших значений в зависимости от добротности реактивных элементов. Резонанс напряжений наблюдается в электрической цепи из последовательно соединенных катушки и индуктивности и конденсатора или в более сложных цепях.

Резонанс токов (параллельный резонанс) наблюдается в электрической цепи из параллельно соединенных катушки индуктивности и конденсатора или в более сложных цепях. При резонансе токов сопротивление цепи становится резистивным, принимает максимальное значение, а токи в параллельных ветвях могут достигать больших значений в зависимости от добротности реактивных элементов.

При резонансах энергия внешнего источника подается в «такт» с частотой собственных автоколебаний резонансной системы. Происходит постепенное накопление энергии в виде увеличениz напряжения (резонанс напряжений) или тока (резонанс токов). В идеальной цепи без сопротивлений накопленная энергия равна бесконечности, а в цепи с сопротивлениями накопление энергии ограничивается добротностью радиоэлементов.

Добротность () реального реактивного элемента вводится как отношение энергии, накопленной идеальной реактивной частью полного сопротивления к энергии, необратимо преобразованной идеальной резистивной частью полного сопротивления , т.е.:

. (4.10)

Так как для реальных реактивных радиоэлементов можно привести последовательную и параллельную схемы замещения (рис. 4.6, рис. 4.7), то для каждого радиоэлемента существует две формулы определения добротности.

а) б)

в) г)

Рис. 4.6

(4.11)

или

; (4.12)

(4.13)

или

; (4.14)

В выражениях (4.11), (4.13) - - потери для разных эквивалентных схем, причем, для реальных элементов , .

Выражения (4.12), (4.14) следуют из рассмотренных в разделе 3 векторных треугольников. Угол, дополняющий угол сдвига фазы в цепи () до p/2, называется углом потерь. Тангенс угла потерь приводится в справочных данных на конденсаторы.

Добротность катушек индуктивности может достигать нескольких сот единиц, а конденсаторов – нескольких тысяч единиц. Следовательно, добротность электрической цепи, содержащей конденсаторы и катушки индуктивности, в основном определяется добротностью катушек индуктивности.

При исследовании сопротивления резонансной цепи учитывается следующее:

количество резонансов на единицу меньше числа независимых реактивных элементов;

частоты резонансов токов и напряжений – чередуются;

график функции сопротивления «чисто» реактивной цепи является неубывающей функцией, при изменении частоты от нуля до бесконечности.

Под независимыми реактивными элементами понимают разнотипные (например, емкости и индуктивности), которые нельзя объединить в суммарный элемент.

С учетом этого, при построении графиков сопротивлений можно не исследовать аналитическое выражение, описывающее сопротивление резонансной цепи, а применять следующую методику приближенного анализа:

- оставить в эквивалентной схеме только идеальные реактивные элементы:

- определить число резонансов и «качественно» отметить их положение на оси частот;

- по эквивалентной схеме проанализировать начальную точку графика: ();

- изобразить график сопротивления в виде неубывающей функции частот, проходящей через резонансные частоты или асимптотически приближающейся к ним;

- при необходимости нарисовать график модуля и фазы сопротивления резонансной цепи.

Методику поясняет график сопротивления (рис. 4.8,б) для эквивалентной схемы (рис. 4.8,а).

a)

jx

ω₀₁ ω₀₂ ω₀₃ ω

б)

Рис.4.8

На резонансных частотах сопротивление реактивной электрической цепи – резистивное, вне резонансных частот – индуктивное или емкостное.

4.4. Последовательный колебательный контур

Такая электрическая цепь является последовательным соединением катушки индуктивности и конденсатора. Подобные электрические цепи применяются в качестве:

- «звеньев» пассивных электрических фильтров;

- электрических фильтров в электрогенераторах;

- пассивных усилителей напряжения.

Вариант комплексной эквивалентной схемы последовательного колебательного контура показан на рисунке 4.9.

jωL R_L R_C

Рис.4.9

Входная частотная характеристика (входное сопротивление) контура запишется:

. (4.15)

Из определения условия резонанса напряжений ( =0) следует основные расчетные соотношения для контура на частоте резонанса напряжений:

резонансная частота

; (4.16)

где - индиктувность,

- емкость,

или

; (4.17)

характеристическое сопротивление контура на резонансной частоте

; (4.18)

добротность контура

; (4.19)

или

; (4.20)

резонансное сопротивление (сопротивление потерь), которое минимально в сравнении с резонансным сопротивлением на соседних частотах

; (4.21)

амплитуда резонансного тока, которая максимальна, в сравнении с амплитудой тока на соседних частотах

; (4.22)

эквивалентная добротность контура

; (4.23)

где - дополнительно включенные в контур «последовательные» потери. Если сопротивления потерь (нагрузки) подключены параллельно к индуктивности или емкости, то для применения формулы (4.23) они пересчитываются в последовательные сопротивления (разд. 3).

Эквивалентная добротность, определяемая при исследовании частотных характеристик:

. (4.24)

В выражении (4.24) - полоса пропускания контура, определяемая как разность частей, на которых ток, напряжение, коэффициент передачи (, ) уменьшаются в раз, в сравнении со значением на резонансной частоте. Этот критерий также соответствует уменьшению мощности в два раза.

Выражение (4.24) введено следующим образом:

- вводится «безразмерная частота», называемая обобщенной расстройкой (x)

; (4.25)

- сопротивление контура записывается через обобщенную расстройку

, (4.26)

или

(4.27)

- задается критерий для граничных частот полосы пропускания

. (4.28)