Понятие свертки. Теорема умножения изображений

Определение свертки. Сверткой функций и действительного переменного называется функция , определяемая равенством

.

Символически свертку обозначают так: , то есть

.

Операцию получения свертки функции будем называть свертыванием.

Пример 11. Пусть , тогда

,

то есть . (2.17)

Пример 12. Пусть , , тогда

,

то есть . (2.18)

Понятие свертки имеет фундаментальное значение в современном построении операционного исчисления.

Теорема (умножения изображений). Произведение двух изображений и является изображением свертки соответствующих оригиналов.

Доказательство.

Пусть , , тогда

(2.19)

Изменяя порядок интегрирования в последнем интеграле, будем иметь:

(2.20)

Обозначая последний интеграл и учитывая, что существует и такие что и (в силу определения оригинала и предположения, что и являются таковым), будем иметь

при , .

Следовательно, переходя к пределу при в равенстве (2.20), учитывая равенство (2.19) получим

или .

Пример 13. Найти оригинал по изображению .

Так как и , то, применяя последовательно теорему умножения изображений и формулу (2.17), получим ,

то есть .

Пример 14. Найти оригинал по изображению .

Так как , , то, применяя последовательно теорему умножения изображений и равенство (2.18) получим:

, т.е. .