Вывод уравнения свободных колебаний

Пусть груз массы Q покоится на упругой пружине. Если этот груз мы выведем из положения равновесия, то он начнет колебаться (предполагаем, что только вертикально). Отклонение груза от положения равновесия обозначим через (положительное – вниз, отрицательное - вверх).

Q

у

A A A y

В положении равновесия сила веса груза уравновешивается упругостью пружины. В процессе колебания пружина стремиться вернуть груз в положение равновесия. Известно, что сила, стремящаяся вернуть груз в положение равновесия (восстанавливающая сила), направлена против движения и пропорциональна отклонению, т.е. равна , где - коэффициент жесткости пружины.

Далее, пусть в данной системе установлен амортизатор, препятствующий движению груза Q. Эта сила сопротивления направлена в сторону, противоположную направлению движения и пропорциональна скорости движения груза (относительно нижней точки пружины), т.е.

, где - характеризует силу сопротивления амортизатора.

Напишем дифференциальное уравнение движения груза на пружине. На основании второго закона Ньютона будем иметь

или , где , . (1.1)

Получили линейное однородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, описывающее процесс свободных колебаний.