Уравнение Шредингера для частицы в потенциальной яме

Нахождение электрона в поле ядра можно приближенно считать движением в трехмерной потенциальной яме. Высота этой ямы определяется величиной кулоновского поля ядра.

Рассмотрим простейший случай – движение частицы в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками» – потенциальная энергия на границах имеет бесконечно большое значение. Потенциальная энергия такой ямы шириной l имеет вид:

(5.15)

Рис. 5.1. Одномерная потенциальная яма

Ограничимся рассмотрением стационарных состояний системы, уравнение Шредингера для одномерной задачи в этом случае имеет вид:

(5.16)

Поскольку частица не может проникнуть за пределы потенциальной ямы, то волновая функция ψ(x) вне ямы тождественна нулю. В силу условия непрерывности ψ(x) должна быть равна нулю и на границах ямы:

(5.17)

Выражение (5.17) является граничным условием задачи.

В пределах ямы (0 ≤ x ≤ l) U=0, следовательно, уравнение Шредингера имеет вид: (5.18)

Обозначив через (5.19)

получим уравнение, описывающее колебательный процесс:

(5.20)

Решение этого уравнения имеет вид: (5.21)

Подстановка граничных условий позволяет найти константы ω и α:

, из чего следует, что α=0.

, отсюда получаем:

(n=1, 2, 3,...) (5.22)

При n = 0 решение лишено физического смыла, так как ψ = 0 означает, что частица нигде не находится, т.е. не существует.

Подставив ω из (5.22) в выражение (5.20), можно найти собственные значения энергии частицы: (n = 1, 2, 3,...) (5.23)

Итак, энергия, которой может обладать частица в одномерной потенциальной яме, представляет собой дискретный набор значений, то есть энергетический спектр частицы является дискретным. Минимальное значение энергии частицы, находящейся в потенциальной яме, отлично от нуля. Это проявление волновых свойств частиц. Такой результат может быть получен из соотношения неопределенности.

Как будет двигаться электрон, можно узнать, рассчитав волновые функции: Подстановка найденного значения параметра ω в формулу (5.21) дает вид собственных функций задачи: (5.24)

Подставив волновую функцию (5.24) в условие нормировки (4.18), , найдем параметр .

Таким образом, собственные функции имеют вид:

(n=1,2,3,...) (5.25)

На рисунке показаны волновые функции первых трех энергетических состояний частицы в потенциальной яме шириной l, а также вероятности обнаружения частицы на различных расстояниях от стенок ямы ψ²=ψ^*ψ.

В частности видно, что в состоянии n = 2 вероятность обнаружить частицу в середине ямы равна нулю. Напомним, что согласно классическим (не квантовым) соображениям, частица с одинаковой вероятностью может находиться в любой точке ямы.

а) б) в)

Рис. 5.2. а) энергетический спектр (первые 5 состояний) частицы в потенциальной яме шириной L; б) волновая функция частицы в первых трех состояния; в) квадрат волновой функции частицы = вероятность нахождения частицы в определенной точке потенциальной ямы в первых трех состояниях

Такое поведение микрочастиц иллюстрирует тот факт, что к ним не применимо понятие траектория. В частности в состоянии n = 2 частица «перемещается» из левой части ямы в правую и при этом не проходит через «середину» этой ямы.

Оценим расстояние между уровнями:

(5.26).

Видно, что чем больше масса частицы и геометрические размеры области, в которой эта частица ограничена, тем меньше расстояние между соседними уровнями. Разумеется, для тел с большой массой ни о каких квантовых эффектах говорить не приходится. Но даже, если взять m порядка массы молекулы (~10^–26 кг), а l порядка 0.1 м (размер сосуда, в котором находится молекула), расстояние между уровнями составит ∆E_n ≈ n·10^–20 эВ. Спектр с такой густотой линий будет восприниматься как сплошной, а молекула будет вести себя как классическая частица.

Такая же приблизительно ситуация складывается с движением электрона в проводнике. В этом случае в формулу (5.26) нужно подставить массу электрона m ~ 10^–30 кг, геометрические размеры области, в которой ограничен электрон, для определенности возьмем l = 0.1 м. Тогда ∆E_n ≈ n·10^–16 эВ, то есть квантовые эффекты будут мало заметны, и поведение электрона в проводнике также будет иметь классический характер.

Итак, квантовый характер движения будет иметь только малая частица (нуклон, электрон, атом и даже молекула), ограниченная в очень малой области пространства. Эти условия выполняются, например, для электронов, находящихся в поле ядра. В этом случае масса электрона m ~ 10^–30 кг, l ≈ 10^–9 м, тогда расстояние между уровнями будет ∆E_n ≈ n·1 эВ. В этом случае квантование энергии будет выраженным, следовательно, и поведение электрона будет отличным от классического.

Можно показать, что стационарные уровни в потенциальной яме возникают лишь в том случае, если Е₁ ˂ U. То есть в потенциальной яме рассматриваемого вида уровни возникают лишь при условии:

(5.27)

В левой части этого неравенства стоят параметры потенциальной ямы (глубина и ширина), а в правой – только постоянные числа и универсальные постоянные. Если полученное нами условие не выполнено (потенциальная яма слишком узкая или слишком мелкая), в ней не помещается ни одного энергетического уровня. Такие случаи встречаются не так уж редко. Силы взаимодействия между двумя нейтронами являются слабыми силами притяжения. Эти силы определяют величину потенциальной энергии U. Ядра, состоящего из двух нейтронов, в природе не существует, так как потенциальная яма, в которой должны находиться два нейтрона в каких-либо состояниях, не удовлетворяет указанному выше условию (5.27). Аналогичным образом не существует и ядра, состоящего из двух протонов. Сила взаимодействия между протоном и нейтроном совсем немного больше, чем сила взаимодействия двух нейтронов или протонов. Но этой небольшой разницы достаточно, чтоб потенциальная энергия U уже удовлетворяла условию (5.27). В такой яме может образоваться только один уровень – одно состояние. Связанное состояние нейтрона и протона называется дейтроном. Возбужденного состояния дейтрона не существует, так как в соответствующей потенциальной яме может образоваться только одно состояние.