Главное квантовое число

Рассмотрим в качестве модельной простейшую систему, состоящую из неподвижного ядра с зарядом Z = 1 и одного электрона, т.е. атом водорода. Аналогичным образом будут описываться так называемые водородоподобные ионы, которые представляют собой электрон, движущийся вокруг ядра, имеющего заряд больше Z > 1.

Потенциальная энергия электрона в кулоновском поле ядра равна:

(7.1)

Таким образом, уравнение Шредингера принимает вид:

(7.2)

где r – расстояние электрона от ядра, m_e – масса электрона.

Рис. 7.1. Полярные координаты (ρ, φ, θ)

Наиболее просто уравнение решается в полярных координатах (рис. 7.1), так как поле, в котором движется электрон, является центрально-симметричным.

В полярных координатах (ρ, φ, θ) уравнение Шредингера имеет вид:

(7.3)

Можно показать, что это уравнение имеет решение при любых E > 0, а также в случае, если E принимает одно из дискретных отрицательных значений, равных: (n = 1, 2, 3,...) (7.4)

Случай E > 0 соответствует электрону в свободном состоянии (рис. 7.2), то есть электрону, который пролетает вблизи ядра, а затем удаляется на бесконечность. Энергия электрона E < 0 означает, что он связан с ядром.

Рис. 7.2. Энергия электрона в атоме

Собственные функции уравнения (7.3) зависят от трех целочисленных параметров: n, l, m: (7.5)

Параметр n называют главным квантовым числом, он указывает номер энергетического уровня (см. раздел 5).