Норма вектора. Неравенство Коши-Буняковского. Угол между векторами

Опр. 12.5. Длиной (нормой) вектора Î ε называется действительное число = .

Пример 12.6.. 1. В соотв. геометрическому определению длины вектора. 2. У С [a;b] = .

Св-во 12.7. В Евклидовом пространстве ε: 1) = 0 т. и только тогда, когда = ; 2) = .

Доказ. 1) Если = , тогда = = =0. Если , тогда >0, откда = >0.

2) = = = .■

Опр. 12.8. Вектар Î ε называецца нормированным, если =1.

Св-во 12.9. Когда , тогда вектор - нормированный. Доказ. = = =1.■

Теорема 12.10. ( Неравенство Коши- Буняковского) Î ε (1). Равенство (1) имеет место тогда и только тогда, когда і - коллинеарные, то есть kÎR такой, что =k ( = k ). Доказ. Когда = , тогда (1) справедливо па 12.3.1 і =0 . Когда па 12.1.4 і 12.3.1 (; ) , значи т R ( - ; - ) , (2) значит, R -2 + .

. Пусть имеет место равенство. Тогда D=0. Есть такое , что квадратный трехчлен =0. (; ) , =0, ( -λ , -λ )=0. -λ =0 і =λ . ■

Вывод 12.11. Когда , принадлежат ε \ { }, тогда –1 ≤ ≤ 1.

Доказ. З 12.11 вынікае, што - || ||×|| || (, ) || ||×|| ||, это значит,–1 ≤ ≤ 1. ■

Св-во 12.12. Когда , принадлежит ε \ { }, то существует единственный φ из [0, ] иакой, что: . Доказ. Док-во следует 12.11 и с того, что на [0, ]функция cos(x) принимает значния на [-1, 1] по одномку разу.■

Опр. 12.13. когда , принадлежат ε \ { }, тогда углом между векторами і называют угол φ с промежутка [0, ] такого что cos φ= , Из 12.12 следует корректность 12.13.

Вынік 12.14. =|| ||×|| ||× cos φ. Доказ. Очевидно из 12.13. ■