Евклидовы пространства. Определение и свойства

Опр. 12.1. V- линейное пространство над R. Скалярным произведением V называется отображение (·; ·): V ´ V R, которое удовлетворяет следующим условиям: 1) Î V (; )=(; ) (условие симметричности),

2) Î V ( + ; )=(; )+(; ), 3) ÎR Î V ( ; )= (; ), 4) Î V (; )>0, если . Простанство V, в котором заданно скалярное достояние, называется Евклидовым пространством. Если dim _R V =n, тогда записывают V = ε ⁿ.

Пример 12.2. 1) V₂ со скалярным произведением, который изучался в курсе геометрии: когда = + , = + (; )= + является Евклидовым пространством. 2) С [a;b]- множество неразрывных на [a;b] функций. Если f, g Î С [a;b], обозначим (f, g)= . Проверьте, что на С[a;b] заданное скалярное произведение, таким образом, С[a;b]- евклидово пространство.

Св-во 12.3. В произвольной Евклидовом пространстве: 1) Î ε (; )=(; )= ;

2) Î ε (; + )=(; )+(; ); 3) Î ε ÎR (; )= (; );
4) Î ε, ÎR (; )= (; );

5) Î ε ÎR (; )= (; ).

Доказ. 1) (; )=(;0 )=0(; )=0 2) (; + )=( + ; )=(; )+(; )=(; )+(; )

3) (; )=( ; )= (; )= (; ). 4) ММІ па п. п =1 ( ; )= (; ) па 12.1.3.

п =2 ( + ; )=( ; )+( ; )= (; )+ (; ). Если справедливо для п, рассмотрим п +1. ( = )+( ; ) = (; )+ (; ) = (; ).

5) (; )= (; )= (; ) = (; )= (; ).■

Св-во 12.4. Пусть Е- Евклидово пространство, U – его линейное подпространство, тогда U со скалярным произведением, определенным на Е, явл. Евклидовым пространством.

Доказательство. Очевидно из определения 12.1. ■