Ранг матриц и системы линейных уравнений

Пример 11.18. Найти ранг матрицы А. .

Т. 11.19. Теорема Кронер-Капелли: Система линейных уравнений совместна , когда ранг матрицы коэффициентов равен рангу расширенной матрицы системы. Доказательство: Пусть . Пусть эта система совместна. - решение. , . Пусть . тогда в А МЛНП системы столбцов содержит r столбцов, но т.к. это МЛНП в А, то все столбцы из А выражаются ч/з МЛНП. Но тогда и В выражается ч/з МЛНП. Значит эти r столбцов являются МЛНП системы столбцов матрицы . Значит . Обратно. Пусть . Рассмотрим МЛНП столбцов матрицы А. Ранги равны, значит она является МЛНП системы столбцов матрицы . Т.к. система выражается ч/з свою МЛНП, то мтолбец В выражается ч/з r столбцов матрицы А, значит ч/з все стобцы матрицы А. - решение системы , т.е. система совместна. ■

Т. 11.20. Структура решений систем линейных уравнений. Пусть дана система и столбец Х* - ее решение. Тогда произвольное решение Х1 этой системы имеет вид: Х1=Х*+Х_О, где столбец Х_О является решением однородной системы АХ=0, соотв. данной. Если Х* - решение данной системы, а Х_О – решение соотв. однородной, то Х1=Х*+Х_О – решение данной системы. Доказательство: Пусть Х* и Х1 – решение системы АХ=В. Обозначим Х_О=Х1–Х*, АХ_О=А(Х1–Х*)=АХ1–АХ*=В–В=0 значит АХ_О=0, т.е. столбец Х_О – решение соотв. однородной системы. Х1=Х*+ Х_О. Обратно. Пусть АХ*=В и АХ_О=0, то А(Х*+ Х_О)=АХ*+А Х_О=В+0=В, Х*+ Х_О – решение системы АХ=В. ■

Следствие 11.21. Все решения системы АХ=В имеет вид Х*+ Х_О, т.е. принадлежит множеству , где V – пространство решение, соотв. данной системы. Х*+V – линейное многообразие. Доказательство: доказано в 11.20. ■

Т. 11.22. (2 часть теоремы Кронер-Копелли) Если АХ=В – система с неизвестным и , то система имеет единственное решение. Если , то система в базисе бесконечного поля имеет бесконечное решение. Доказательство: Ранги равны, значит система совместна. если Х* - ее решение, то все решения имеют вид: если то , . если , то - число свободных переменных. V – это -мерное пространство над полем действительных чисел, значит V – бесконечно, значит X*+V – бесконечно. ■